例说数学学习中的四基

傷城~ 2021-09-20 11:28 242阅读 0赞

## 四基提法 ##

\$\\hspace\{1cm\}\$“四基”就是基础知识、基本就能、思想方法、活动经验，以前的学习中习惯把基础知识和基本技能称双基，后来添加了思想方法，就成了三基，再后来，又添加了活动经验，就成了四基。这应该是2018年的最新的提法了。那么怎么理解这些东西，有人说是老师的事，不需要学生知道这些，我倒认为学生了解一下很有好处。在高中数学的学习过程中，有一部分学生只是一味的喊苦，总想着不在基础知识的积累上下功夫，而是想怎么能一步到位，直接就能解决好多的综合题目。其实这时没有弄清楚这几个的关系。好多过来人(或者说读过书的人)都有感触，学数学和干其他的事情都是一样的。一旦基础有问题，那么要提高就很困难。先有基础知识，后有综合应用，这是时间轴上的先后关系，或者说是因果关系。只有基础知识的扎实，才会游刃有余的悠闲，先苦后甜，因此要下功夫打好基础。  
\$\\hspace\{1cm\}\$是学生不知道这个关系吗？非也，是急功近利惹的祸。现在的学生都不想吃苦，总是一厢情愿的耍弄自己的小聪明，想着绕过基础，直达目的地。等到头撞南墙的时候，自然就从内心认可了基础的重要性。当然其中也有一部分学困生，下面的举例主要针对这部分学生展开。真正的聪明人请绕行。  
\$\\hspace\{1cm\}\$那么到底什么是“四基”，这四个是怎么组合在一起的，能不能举个实例感受一下呢？这里刚好有一个数列的例子。

## 例说四基 ##

静雅凤中$\\;\\cdot\\;$教学反思 题源：2017吉安模拟；反思：数学基础知识是什么？如何综合灵活运用数学基础知识和基本技能数列$\\\{a\_n\\\}$的前$n$项的和为$S\_n$，$a\_1=1$，$S\_\{n+1\}=4a\_n+2(n\\in N^\*)$，设$b\_n=a\_\{n+1\}-2a\_n$。(1)、求证：$\\\{b\_n\\\}$是等比数列；

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【知识储备】等比数列的证明方法：定义法或等比中项法；$S\_\{n+1\}-S\_n=a\_\{n+1\}$； 分析：由于题目要证明等比数列，我们想到用定义法，自然会想到需要证明$\\cfrac\{b\_n\}\{b\_\{n-1\}\}=常数$，【这是基本知识】 当我们结合题目将$\\cfrac\{b\_n\}\{b\_\{n-1\}\}=\\cfrac\{a\_\{n+1\}-2a\_n\}\{a\_n-2a\_\{n-1\}\}=\\cdots=常数$，我们看到这里一般都会感觉变形比较难， 所以由结果到已知条件这样的变形方向一般会放弃，从而重新选择变形方向， 此时可以考虑从已知条件入手到结果的方向分析，变形得到$\\cfrac\{b\_n\}\{b\_\{n-1\}\}= 常数$，【这是基本经验】 确定了变形方向后，我们需要分析：已知条件中有$a\_n$类和$S\_n$类，而求解的式子中没有$S\_n$类，故想到消掉$S\_n$类； 为了消掉$S\_n$类，我们需要根据$S\_\{n+1\}$来构造$S\_n$，以便作差消掉；【这是基础知识和基本经验】 解析：当$n\\ge 1$时，$S\_\{n+1\}=4a\_n+2$， 当$n\\ge 2$时，$S\_n=4a\_\{n-1\}+2$，作差得到 $S\_\{n+1\}-S\_n=4a\_n-4a\_\{n-1\}(n\\ge 2)$，【这是基本变形技能】 即$a\_\{n+1\}=4a\_n-4a\_\{n-1\}(n\\ge 2)$，注意到$b\_n=a\_\{n+1\}-a\_n$，说明最起码左边还差一个$-2a\_n$，【这是基本经验】 故变形如下：即$a\_\{n+1\}-2a\_n=2a\_n-4a\_\{n-1\}(n\\ge 2)$，即$a\_\{n+1\}-2a\_n=2(a\_n-2a\_\{n-1\})(n\\ge 2)$，【这是基本变形技能】 故$b\_n=2b\_\{n-1\}$；到此如果直接想到变形为$\\cfrac\{b\_n\}\{b\_\{n-1\}\}=2$； 说明你的基础知识不牢固；因为前者是后者的必要不充分条件，由前者不能得到后者，还需要补充条件$b\_1\\neq 0$；【这是基础知识积累】 以下想方法求解$b\_1$，当$n=1$时，$S\_2=a\_1+a\_2=4a\_2+2$，故$a\_2=5$ 则有$b\_1=a\_2-2a\_1=5-2=3\\neq 0$，故此时才可以将$b\_n=2b\_\{n-1\}$改写为$\\cfrac\{b\_n\}\{b\_\{n-1\}\}=2$； 此时我们才能合情合理的作出判断：数列$\\\{b\_n\\\}$是首项为3，公比为2的等比数列。 【这是基础知识积累】

反思总结：1、庖丁解牛式的解题方式，或许能帮助你找出自身的不足。2、借助此题我们想说明，基础知识稍微差一点，都不能将综合题目顺利的做出来。基础知识的积累本来就不需要别人不停的强调。

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(2)、设$c\_n=\\cfrac\{a\_n\}\{3n-1\}$，求证：$\\\{c\_n\\\}$是等比数列；

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【预备知识】模型：已知$a\_\{n+1\}=pa\_n+q(p、q为常数)$求$a\_n$的思路方法；模型：已知$a\_\{n+1\}=pa\_n+q\\cdot p^n(p、q为常数)$求$a\_n$的思路方法； 等差数列的判定定义法$a\_\{n+1\}-a\_n=d(d常数)$，以及$a\_n$的内涵，比如具体题目中$a\_n$位置上可能是代数式$\\cfrac\{b\_\{n+1\}\}\{3^\{n+1\}\}$；等比数列的判定定义法$\\cfrac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}=q(q常数)$； 分析：要证明$\\\{c\_n\\\}$是等比数列，你自然会推测出需要先求解$a\_n$，而要求解$a\_n$，就需要先写出$b\_n$的通项公式； 【这是基本经验】 解析：由(1)可得，$b\_n=3\\cdot 2^\{n-1\}$；即$a\_\{n+1\}-2a\_n=3\\cdot 2^\{n-1\}$； 当将$a\_\{n+1\}-2a\_n=3\\cdot 2^\{n-1\}$变形为$a\_\{n+1\}=2a\_n+3\\cdot 2^\{n-1\}$；； 接下来，你必然要预判进一步的变形方向，在你的知识储备库中应该能查询到模型$a\_\{n+1\}=pa\_n+q(p、q为常数)$【这是基础知识积累】 当将$a\_\{n+1\}-2a\_n=3\\cdot 2^\{n-1\}$变形为$a\_\{n+1\}=2a\_n+3\\cdot 2^\{n-1\}$；你应该能看到二者的差距比较接近； 比照模型不一样的是，在常数$q$的位置上出现的不是常数而是变数$3\\cdot 2^\{n-1\}$，故我们想到需要两边同除以$2^\{n-1\}$，以便缩小和模型的差距 故变形如下$\\cfrac\{a\_\{n+1\}\}\{2^\{n-1\}\}=\\cfrac\{2a\_n\}\{2^\{n-1\}\}+3$，整理得到$\\cfrac\{a\_\{n+1\}\}\{2^\{n-1\}\}=\\cfrac\{a\_n\}\{2^\{n-2\}\}+3$，【这是基本变形技巧】 到此，你要能看出来，等差数列的大体模型已经出来了，即$\\cfrac\{a\_\{n+1\}\}\{2^\{n-1\}\}-\\cfrac\{a\_n\}\{2^\{n-2\}\}=3$， 即数列$\\\{\\cfrac\{a\_n\}\{2^\{n-2\}\}\\\}$的后项与其前项的差是常数3。【这是基本数学素养，数学经验】 再计算出其首项$\\cfrac\{a\_n\}\{2^\{n-2\}\}=\\cfrac\{a\_1\}\{2^\{1-2\}\}=2$后，就可以做等差数列的结论了。 故数列$\\\{\\cfrac\{a\_n\}\{2^\{n-2\}\}\\\}$是首项为2，公差为3的等差数列。则$\\cfrac\{a\_n\}\{2^\{n-2\}\}=2+3(n-1)=3n-1$，故$a\_n=(3n-1)\\cdot 2^\{n-2\}$。 则$c\_n=\\cfrac\{a\_n\}\{3n-1\}=2^\{n-2\}$，如果是选择填空题目，到此我们就可以做结论了。 这是因为$c\_n$是指数型函数，可以由此判断等比数列了。【这是基础知识积累】 这里要求证明，我们用定义法。 构造：当$n\\ge2$时，$c\_\{n-1\}=2^\{n-3\}$； 故有$\\cfrac\{c\_n\}\{c\_\{n-1\}\}=\\cfrac\{2^\{n-2\}\}\{2^\{n-3\}\}=2 (n\\ge 2)$，又$c\_1=2^\{1-2\}=\\cfrac\{1\}\{2\}$ 故数列$\\\{c\_n\\\}$是首项为$\\cfrac\{1\}\{2\}$，公比为2的等比数列。【这是基础知识积累】

反思总结1、几个基本类型组合到一起，就是个综合题目。2、怎么把这些基本类型的求解方法串起来，可能就是人家所说的数学素养吧。

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