机器学习_数学基础_高数、线代、概率

骑猪看日落 2023-06-04 06:58 2阅读 0赞

## 机器学习中的数学基础 ##

**一、导数**  
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这一遍书看得很深刻，好像学明白了一样，书还是得多看几遍呐。下面是一些例题，我只看了一下，无聊的时候做几道。  
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![在这里插入图片描述][20191007211035816.png]  
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参考：  
https://wenku.baidu.com/view/e413426b10661ed9ad51f39e.html  
**二、梯度**  
学习梯度之前，先看方向导数。  
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![在这里插入图片描述][20191008153121747.png]  
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参考：  
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1627719346341492607&wfr=spider&for=pc  
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1627719346341492607&wfr=spider&for=pc  
**三、凸函数**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]  
https://wenku.baidu.com/view/2b1c2410e2bd960591c67728.html  
**四、凸集**

**五、Taylor公式**  
这一部分的知识，与上学期学到的《数学分析》中的思想一样，就是逼近，用一个简单的函数来代替复杂的函数，这个函数无限的逼近这个函数。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]  
参考博客：https://blog.csdn.net/qq\_38646027/article/details/88014692  
https://wenku.baidu.com/view/ff9e6e7ca417866fb84a8eb9.html  
**六、联合概率、条件概率、贝叶斯公式**  
**1.条件概率**  
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：

P(A|B)=P(AB)/P(B)

分析：一般说到条件概率这一概念的时候，事件A和事件B都是同一实验下的不同的结果集合，事件A和事件B一般是有交集的，若没有交集（互斥），则条件概率为0，例如：

① 扔骰子，扔出的点数介于\[1,3\]称为事件A，扔出的点数介于\[2,5\]称为事件B，问：B已经发生的条件下，A发生的概率是多少？

也即，做一次实验时，即有可能仅发生A，也有可能仅发生B，也有可能AB同时发生，

② 同时扔3个骰子，“三个数都不一样”称为事件A，“其中有一个点数为1”称为事件B。这一题目中，AB也是有交集的。  
![在这里插入图片描述][20191008195116930.png]  
用图更能容易的说明上述问题，我们进行某一实验，某一实验所有的可能的样本的结合为Ω（也即穷举实验的所有样本），圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本，圆圈B代表事件B所能囊括的所有样本。

由图再来理解一下这个问题：“B已经发生的条件下，A发生的概率”，

这句话中，“B已经发生”就相当于已经把样本的可选范围限制在了圆圈B中，

其实就等价于这句话：“在圆圈B中，A发生的概率”，显然P(A|B)就等于AB交集中样本的数目/B的样本数目。

为什么这里用的是样本的数目相除，而上面的公式却是用的概率相除，原因很简单，用样本数目相除时，把分子分母同除以总样本数，这就变成了概率相除。  
**2.联合概率**  
联合概率指的是包含多个条件且所有条件同时成立的概率，记作P(X=a,Y=b)或P(a,b)，有的书上也习惯记作P(ab)，但是这种记法个人不太习惯，所以下文采用以逗号分隔的记法。

一定要注意是所有条件同时成立！  
**3.边缘概率**  
边缘概率是与联合概率对应的，P(X=a)或P(Y=b)，这类仅与单个随机变量有关的概率称为边缘概率  
https://www.cnblogs.com/zzdbullet/p/10043680.html  
https://www.cnblogs.com/zhoulujun/p/8893393.html  
**七、各种概率的分布**  
**1.两点分布/伯努利分布**  
二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment）用ξ表示随机试验的结果。如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 22]  
**2. Poisson分布**  
Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。  
概率函数：  
![在这里插入图片描述][20191008202341765.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 23]  
**3. 均匀分布**  
均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。  
![在这里插入图片描述][20191008202618212.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 24]  
**4. 指数分布**  
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。  
指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。  
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。  
分布函数：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 25]  
其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是\[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~ E（λ）.  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 26]  
**5. 标准正太分布**  
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 27]  
**6. 卡方分布**  
若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 28]  
**7. F分布**  
若总体XN(0,1)分布， （X1,X2…,Xn1）与(Y1,Y2,Y3…Yn)  
为来自X的两个独立样本，设统计量：  
![在这里插入图片描述][20191008203611225.png]  
则称统计量F服从自由度n1和 n2的F分布，记为 FF(N1,N2).  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 29]  
**八、大数定理、中心极限定理**  
大数定理是说，在样本很大的情况下，n发生的频率依概率收敛于n的概率p。从理论上说明了只要试验的次数n充分大，事件发生的频率与其概率偏差就足够小。  
推荐一篇文章：http://www.sohu.com/a/338507372\_120177937  
中心极限定理，就是用少量的样本得到结论。样本的平均值等于总体的平均值。不管总体是什么分布，任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围，并且呈正态分布。

**九、MLE**  
求解步骤：  
![在这里插入图片描述][20191008210421533.png]  
![在这里插入图片描述][20191008210436590.png]  
**(3)对求导数并令之为0：**  
**下面是一道习题**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 30]  
**十、线性代数**  
主要是矩阵的操作。  
**十一、矩阵的求导**\*\*  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkxNjc1NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 31]

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