卷积的全面理解及其与互相关的关系

落日映苍穹つ 2023-06-12 08:47 8阅读 0赞

*  卷积的连续形式：  
     ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) d τ (\{\\rm f\}\*\{\\rm g\})(x)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\{\\rm f\}(\\tau)\{\\rm g\}(x-\\tau)\{\\rm d\}\\tau (f∗g)(x)=∫−∞\+∞f(τ)g(x−τ)dτ
 *  卷积的离散形式：  
     ( f ∗ g ) ( x ) = ∑ τ = − ∞ + ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) (\{\\rm f\}\*\{\\rm g\})(x)=\\sum^\{+\\infty\}\_\{\\tau=-\\infty\}\{\\rm f\}(\\tau)\{\\rm g\}(x-\\tau) (f∗g)(x)=τ=−∞∑\+∞f(τ)g(x−τ)  
    卷积是一个词，但是理解他要从其单独的两个字去理解，即分别理解 **“卷”** 和 **“积”**。

#### 一、卷 ####

**卷**就是翻转的意思，即在自变量方向，将函数 g ( τ ) \{\\rm g\}(\\tau) g(τ)以自变量 τ = 0 \\tau=0 τ=0为中心进行反转，得到 g ( − τ ) \{\\rm g\}(-\\tau) g(−τ)，然后再将变换后的函数 g ( − τ ) \{\\rm g\}(-\\tau) g(−τ)向右移动  x x x个 单位，从而得到函数 g ( x − τ ) \{\\rm g\}(x-\\tau) g(x−τ)。

*  这里或许你会疑问为什么向右移动 x x x个 单位是 − τ + x -\\tau+x −τ\+x，而不是 − τ − x -\\tau-x −τ−x ？  
    这是因为现在自变量已经是 − τ -\\tau −τ，即当前 − τ -\\tau −τ减小的方向是之前 τ \\tau τ增大的方向，但是有一点是不变的，当自变量加一个正数时，整个函数图像会沿着自变量减小的方向进行移动。

#### 二、积 ####

积就是积分，是对 f ( τ ) g ( x − τ ) \{\\rm f\}(\\tau)\{\\rm g\}(x-\\tau) f(τ)g(x−τ)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\\infty,+\\infty) (−∞,\+∞)范围内进行积分， 这里的约束是 x = τ + ( x − τ ) x=\\tau+(x-\\tau) x=τ\+(x−τ)， x x x既可以看成是卷积结果 ( f ∗ g ) ( x ) (\{\\rm f\}\*\{\\rm g\})(x) (f∗g)(x)的自变量，也可以看作是在积分过程中的常量。为什么要做这样的约束呢？因为实际问题常常会有这样的数学关系，因此卷积应用而生。

**当然，我这里知识抛砖引玉，关于卷积的精彩解释，可以知乎里面名称为palet的精彩解释**，[点此链接][Link 1]，进入该网页，请往下翻，找用户名为“palet”的解释，如下图所示。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1ODY2NzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center][]

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二维卷积：  
 g ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( ξ , η ) h ( x − ξ , y − η ) d ξ d η g(x,y)=f(x,y)\*h(x,y)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(\\xi,\\eta)h(x-\\xi,y-\\eta)d\\xi d\\eta g(x,y)=f(x,y)∗h(x,y)=∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(ξ,η)h(x−ξ,y−η)dξdη  
卷积的基本性质：

*  交换律： f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) = h ( x , y ) ∗ f ( x , y ) f(x,y)\*h(x,y)=h(x,y)\*f(x,y) f(x,y)∗h(x,y)=h(x,y)∗f(x,y)证明：设 x − ξ = u ,   y − η = v x-\\xi=u,\\ y-\\eta=v x−ξ=u, y−η=v,则：  
     f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( ξ , η ) h ( x − ξ , y − η ) d ξ d η = ∫ − ∞ + ∞ − ∫ + ∞ − ∞ f ( x − u , η ) h ( u , y − η ) d u d η = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x − u , η ) h ( u , y − η ) d u d η = − ∫ + ∞ − ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x − u , y − v ) h ( u , v ) d u d v = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x − u , y − v ) h ( u , v ) d u d v = h ( x , y ) ∗ f ( x , y ) \\begin\{aligned\} f(x,y)\*h(x,y)&=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(\\xi,\\eta)h(x-\\xi,y-\\eta)d\\xi d\\eta \\\\ &=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}-\\int^\{-\\infty\}\_\{+\\infty\}f(x-u,\\eta)h(u,y-\\eta)du d\\eta \\\\ &=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x-u,\\eta)h(u,y-\\eta)du d\\eta \\\\ &=-\\int^\{-\\infty\}\_\{+\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x-u,y-v)h(u,v)du dv \\\\ &=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x-u,y-v)h(u,v)du dv \\\\ &=h(x,y)\*f(x,y) \\end\{aligned\} f(x,y)∗h(x,y)=∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(ξ,η)h(x−ξ,y−η)dξdη=∫−∞\+∞−∫\+∞−∞f(x−u,η)h(u,y−η)dudη=∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(x−u,η)h(u,y−η)dudη=−∫\+∞−∞∫−∞\+∞f(x−u,y−v)h(u,v)dudv=∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(x−u,y−v)h(u,v)dudv=h(x,y)∗f(x,y)
 *  结合律： ( f ( x , y ) ∗ h 1 ( x , y ) ) ∗ h 2 ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ ( h 1 ( x , y ) ∗ h 2 ( x , y ) ) \\left(f(x,y)\*h\_1(x,y)\\right)\*h\_2(x,y)=f(x,y)\*\\left(h\_1(x,y)\*h\_2(x,y)\\right) (f(x,y)∗h1(x,y))∗h2(x,y)=f(x,y)∗(h1(x,y)∗h2(x,y))

#### 互相关 ####

两个复函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)与 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)的互相关：  
 e f g ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ∗ ( ξ , η ) g ( x + ξ , y + η ) d ξ d η = f ( x , y ) ⋆ g ( x , y ) e\_\{fg\}(x,y)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f^\*(\\xi,\\eta)g(x+\\xi,y+\\eta)d\\xi d\\eta=f(x,y)\\star g(x,y) efg(x,y)=∫−∞\+∞∫−∞\+∞f∗(ξ,η)g(x\+ξ,y\+η)dξdη=f(x,y)⋆g(x,y) 令 x + ξ = ξ ′ ,   y + η = η ′ x+\\xi=\\xi',\\ y+\\eta=\\eta' x\+ξ=ξ′, y\+η=η′，则：  
 e f g ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ∗ ( ξ ′ − x , η ′ − y ) g ( ξ ′ , η ′ ) d ξ ′ d η ′ = f ( x , y ) ⋆ g ( x , y ) e\_\{fg\}(x,y)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f^\*(\\xi'-x,\\eta'-y)g(\\xi',\\eta')d\\xi' d\\eta'=f(x,y)\\star g(x,y) efg(x,y)=∫−∞\+∞∫−∞\+∞f∗(ξ′−x,η′−y)g(ξ′,η′)dξ′dη′=f(x,y)⋆g(x,y)  
互相关是两个信号之间存在多少相似性的度量。  
两个完全不同、毫无关系的信号,对所有位置,他们互相关的值为零。两个部分相似或相同的信号,存在非零的互相关。要充分理解其含义。

**互相关和卷积的关系：**  
 e f g ( x ) = f ( x ) ⋆ g ( x ) = f ∗ ( − x ) ∗ g ( x ) e\_\{fg\}(x)=f(x)\\star g(x)=f^\*(-x)\\ast g(x) efg(x)=f(x)⋆g(x)=f∗(−x)∗g(x)  
证明： e f g ( x ) = f ( x ) ⋆ g ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ∗ ( ξ − x ) g ( ξ ) d ξ = ∫ − ∞ + ∞ g ( ξ ) f ∗ ( − ( x − ξ ) ) d ξ = g ( x ) ∗ f ∗ ( − x ) \\begin\{aligned\} e\_\{fg\}(x)&=f(x)\\star g(x)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f^\*(\\xi-x)g(\\xi)d\\xi \\\\ &=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}g(\\xi)f^\*(-(x-\\xi))d\\xi \\\\ & = g(x)\*f^\*(-x) \\end\{aligned\} efg(x)=f(x)⋆g(x)=∫−∞\+∞f∗(ξ−x)g(ξ)dξ=∫−∞\+∞g(ξ)f∗(−(x−ξ))dξ=g(x)∗f∗(−x)  
这一点非常关键，-x表示以x=0为中心把自变量翻转180°

互相关不满足交换律：  
 f ( x ) ⋆ g ( x ) ≠ g ( x ) ⋆ f ( x ) f(x)\\star g(x)\\neq g(x)\\star f(x) f(x)⋆g(x)=g(x)⋆f(x)  
但是： f ( x ) ⋆ g ( x ) = g ∗ ( − x ) ⋆ f ∗ ( − x ) f(x)\\star g(x)= g^\*(-x)\\star f^\*(-x) f(x)⋆g(x)=g∗(−x)⋆f∗(−x)

本内容有参考：https://wenku.baidu.com/view/70eecf37dd88d0d233d46aac.html

[Link 1]: https://www.zhihu.com/question/22298352?rf=21686447
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