质数 AcWing 867. 分解质因数

港控/mmm° 2023-09-28 11:33 19阅读 0赞

## 质数 AcWing 867. 分解质因数 ##

### 原题链接 ###

[AcWing 867. 分解质因数][AcWing 867.]

### 算法标签 ###

数学知识 分解质因数 试除法

### 思路 ###

#### 分解质因数 ####

算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。  
 n = p 1 a 1 ∗ p 2 a 2 ∗ p 3 a 3 . . . . . p n a n n=p\_1^\{a\_1\} \* p\_2^\{a\_2\} \*p\_3^\{a\_3\}.....p\_n^\{a\_n\} n=p1a1∗p2a2∗p3a3.....pnan

#### 暴力 ####

从2~n 找到能整除的因子然后算次方

#### 优化 ####

n n n中最多只含有一个大于 s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)的因子。  
证明通过反证法：如果有两个大于 s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)的因子，那么相乘会大于 n n n，矛盾。证毕  
于是我们发现最多只有一个大于 s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)的因子，对其进行优化。先考虑比 s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)小的，代码和质数的判定类似  
最后如果 n > 1 n>1 n>1，说明这就是大于 s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)的唯一质因子，输出即可。  
[主要借鉴该题解][Link 1]

### 代码 ###

#include<bits/stdc++.h>
    #define int long long
    #define rep(i, a, b) for(int i=a;i<b;++i)
    #define Rep(i, a, b) for(int i=a;i>b;--i)
    using namespace std;
    const int N = 100005;
    inline int read(){
       int s=0,w=1;
       char ch=getchar();
       while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
       while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
       return s*w;
    }
    void put(int x) {
        if(x<0) putchar('-'),x=-x;
        if(x>=10) put(x/10);
        putchar(x%10^48);
    }
    void div(int n){
    // 如果i只能被1或者自己整除就是质数，否则就不是，又因为他如果能取到i就说明从2到i-1都没有被取到，所以i一定是质数
        for(int i=2;i<=n/i;++i){
            if(!(n%i)){
                int ans=0;
                while(!(n%i)){
                    n/=i;
                    ans++;  
                }
                printf("%lld %lld\n", i, ans);
            }
        }
        if(n>1){
            printf("%lld %lld\n", n, 1);
        }
        puts("");
    }
    signed main(){
    	ios::sync_with_stdio(false);
    	cin.tie(0);
    	cout.tie(0);
    	int n=read();
    	while(n--){
    	    int a=read();
    	    div(a);
    	}
    	return 0;
    }

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[AcWing 867.]: https://www.acwing.com/problem/content/869/
[Link 1]: https://www.acwing.com/solution/content/9813/
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