0-1背包java（动态规划)

港控/mmm° 2024-04-05 06:56 39阅读 0赞

#### 目录 ####

*   *  第2章 动态规划
     *   *  2.1 动态规划基本介绍
         *  2.2 0-1背包问题
         *  本次0-1背包算法 的教程出自韩顺平的数据结构与算法

### 第2章 动态规划 ###

#### 2.1 动态规划基本介绍 ####

1）动态规划（Dynamic Programming）算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2）动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也还是将待求解问题分解成若干个小问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解

3）与分治算法不同的是：以用于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的（即：下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的基础上。进行进一步的求解）

4）动态规划是可以通过填表的方式逐步推导，得到最优解

#### 2.2 0-1背包问题 ####

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ULP2zfca-1662965650671)(C:\\Users\\86139\\AppData\\Roaming\\Typora\\typora-user-images\\image-20220911213639350.png)\]][img-ULP2zfca-1662965650671_C_Users_86139_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220911213639350.png]

3）思路分析和图解

*  背包问题主要是指一个给定容量的背包，若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分为0-1背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可用）
 *  这里的问题属于0-1背包，即每个物品最多放一个，而无限背包可以转换成0-1背包

**思路分析：**

算法的主要思想：利用动态规划来解决，每次遍历到第i个物品，根据w\[i\] 和v\[i\] 来确定是否需要将该物品放入到背包中，即对于给定的n个物品，设v\[i\] 、w\[i\]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量，再令v\[i\] \[j\] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则有如下结果

*  v\[i\] \[0\] = v\[0\] \[j\] = 0;
 *  规定不能装任何东西的时候，或者背包的容量为0的时候，最大价值就是0
 *  当w\[i\] > j ; v\[i\] \[j\] = v\[i-1\] \[j\];
    
     *  //当准备加入新增的物品的容量大于当前背包的容量时，此时背包的最大价值就是加入该物品之前，其他已经放入到背包中的最大价值
 *  当j > =w\[i\] ; v\[i\] \[j\] = max\{v\[i-1\] \[j\], v\[i\] + v\[i-1\] \[ j -w\[i\] \] + v\[i\] \}
    
     *  //当准备加入的新增物品的容量小于等于当前背包的容量
     *  3.如果准备加入的物品的重量比背包包容量小的话，有两种选择 1、把当前物品放入背包 2、不把当前物品放入背包，这两种选择取决于 放入当前物品后是否会导致背包容量溢出，\*\*如果溢出的话，就比较当前背包的价值与溢出的物品的 价值大小，\*\*如果溢出前物品的价值大，就不放入当前物品。 如果溢出前的物品价值小，就放入当前物品，把之前放入的物品取出。 **如果不溢出的话，把当前物品也加入到背包中，之前的物品也不需要取出。**
 *  //装入的方式：
    
    j ：背包的容量
    
    w\[i\] : 第i物品的重量
    
    v\[i\] : 第i物品的价值

v\[i-1\] \[j\] :第i个物品**之前**的装入最大价值

v\[i-1\] \[j - w\[i\]\] : 装入i-1个物品，到剩余空间的最大值

![在这里插入图片描述][31a9c6f21cfd48ec91df8b42d00863ba.png]

**代码实现**

![在这里插入图片描述][54de953c7e0a4a5f93e6a35d42a49359.png]

package com.ldm.dynamic;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /**
     * @author 梁东明
     * 2022/9/11
     * 人生建议：看不懂的方法或者类记得CTRL + 点击 看看源码或者注解
     * 点击setting在Editor 的File and Code Templates 修改
     *
     * 0-1背包问题
     *
     */
    public class KnapSackProblem {
        
        public static void main(String[] args) {
        
            int[] w = {
        1,4,3}; //物品的重量
            int[] val = {
        1500,3000,2000};//物品的价值
    
            int m = 4; //背包的容量
            int n = val.length; //物品的个数
    
            //创建二维数组表示 前i个商品能够装入容量为j的背包的最大价值
            int[][] v = new int[n+1][m+1];
            //为了记录物品的放置情况，再定义一个二维数组
            int[][] path = new int[n+1][m+1];
    
    
    
    
            //规定不能装任何东西的时候，或者背包的容量为0的时候，最大价值就是0
            for (int i = 0; i < v.length; i++) {
        
                v[i][0] = 0;  //第一列设置为0（背包的容量为0的时候）
            }
            /*
            for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
                v[0][i] = 0; //第一行设置为0（背包不装任何东西的时候）
            }
            */
            //上面三行代码可以用这一行代码代替（CTRL + 点击 看看源码，这样你就懂了）
            //很多方法，都不需要我们重复造轮子，JDK自己就已经封装好了，我们直接调用就行了
            Arrays.fill(v[0], 0);//第一行设置为0（背包不装任何东西的时候）
    
    
            //动态规划
            for (int i = 1; i < v.length; i++) {
         //不处理第一行，因为上两步已经把它们置为0了
                for (int j = 1; j < v[i].length; j++) {
         //不出来第一列，
    
                    //当准备加入新增的物品的容量大于当前背包的容量时，
                    //此时背包的最大价值就是加入该物品之前，其他已经放入到背包中的最大价值
                     if ( w[i-1] > j){
         //本来应该是w[i] > j 的，但是我们的程序是从1开始的，所以要减1
                         v[i][j] = v[i-1][j];
                     }
                    //3.如果准备加入的物品的重量比背包包容量小的话，
                    // 有两种选择 1、把当前物品放入背包  2、不把当前物品放入背包，
                    // 这两种选择取决于 放入当前物品后是否会导致背包容量溢出，
                    // 如果溢出的话，就比较当前背包的价值与溢出的物品的价值大小
                    // 如果溢出前物品的价值大，就不放入当前物品。
                    // 如果溢出前的物品价值小，就放入当前物品，把之前放入的物品取出。
                    // 如果不溢出的话，把当前物品也加入到背包中，之前的物品也不需要取出。
                     else if (j >= w[i-1]){
        //本来应该是j >= w[i] 的，但是我们的程序是从1开始的，所以要减1
    
                         // v[i][j] = Math.max(v[i-1][j],val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]);
                         if (v[i-1][j] > val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]] ){
        
                             v[i][j] = v[i-1][j];
    
                         }else {
        
                             v[i][j] =  val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]];
                             path[i][j] = 1;
                         }
    
    
                     }
                }
            }
    
    
            //遍历二维数组，输出元素
            System.out.println("背包中物品的价值变化");
            for (int i = 0; i < v.length; i++) {
        
                for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
        
                    System.out.print(v[i][j] +"\t");
                }
                System.out.println();
            }
    
            System.out.println("================");
            int i = path.length - 1; //行的最大下标
            int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
            //从path的最后面开始找，看看到底背包中最后放置了哪几个物品
            while ( i > 0 && j > 0){
        
                if (path[i][j] == 1){
        
                    System.out.println("第 " + i +" 个物品放入到背包中");
                    j -= w[i-1];
                }
                i--;
            }
            System.out.println("背包中物品的最大价值是：" +v[n][m]);
        }
    }

#### 本次0-1背包算法 的教程出自韩顺平的数据结构与算法 ####

[数据结构和算法教程][Link 1]，哔哩哔哩详细教程  
在 156 - 159p.

最后，认识一下，我是小白。努力成为一名合格的程序员。期待与你的下次相遇。

[img-ULP2zfca-1662965650671_C_Users_86139_AppData_Roaming_Typora_typora-user-images_image-20220911213639350.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/04/ac394202c46e44d7a8d000eb3b3e13e6.png
[31a9c6f21cfd48ec91df8b42d00863ba.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/04/2a5fc3d2a38a4af8b575226f500668ce.png
[54de953c7e0a4a5f93e6a35d42a49359.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/04/01cd12b93a894ef9b62584c261f48473.png
[Link 1]: https://www.bilibili.com/video/BV1E4411H73v?p=159&spm_id_from=pageDriver&vd_source=027fde985896626031abccc06ce8b031