试论微积分基本定理

Dear 丶 2024-03-31 05:31 117阅读 0赞

目 录  
摘 要 I  
Abstract II  
前 言 1  
第一章 微积分基本定理发展历史 2  
1.1巴罗的几何形式的微积分基本定理 2  
1.2牛顿的反流数形式的微积分基本定理 2  
1.3莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理 3  
1.4柯西现代形式的微积分基本定理 3  
1.5黎曼积分下的微积分基本定理 3  
1.6勒贝格测度积分论下的微积分基本定理 4  
第二章 极限的基本定理和概念 5  
2.1极限思想的由来 5  
2.2极限思想的发展 5  
第三章 微积分的应用于发展 7  
3.1微积分基本定理在微积分学理论发展中的应用 7  
3.2极限在数学分析中的应用 8  
3.2.1 极限在数学概念里的渗透 8  
3.2.2 极限在导数中的应用 9  
3.2.3 极限在积分中的应用 10  
3.2.4 极限在微分中的推动作用 11  
第四章 微积分学的哲学思考 12  
4.1极限-量变与质变、有限与无限的辩证关系 12  
4.2“直线”与“曲线”的辩证关系 13  
总 结 15  
参考文献 16  
致 谢 17  
1.5黎曼积分下的微积分基本定理  
黎曼（1826~1866），19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献。  
18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。  
　　1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。  
　　柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。  
　　黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。（即柯西-黎曼方程）  
1.6勒贝格测度积分论下的微积分基本定理  
亨利·勒贝格（18751941）法国数学家，对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题。19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段。1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数。随着K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性。几乎与这一理论发展的同时(18701880年)，人们就已经开展了对积分理论的改造工作当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中。  
第二章 极限的基本定理和概念  
2.1极限思想的由来  
和一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限的思想可追溯到古代，刘徽到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形中心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观大胆的运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，因此，他就在无意中“提出了把极限方法发展成为一个使用概念的方法”.  
然而，微积分学在其创立初期由于历史条件的限制，人们对他的基本概念及其关系的认识还不能突破力学和几何直观的局限，许多概念还没有确切的数学定义，特别是一些定理和公式的推导还处在逻辑混乱的局面。  
2.2极限思想的发展  
极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明。  
1917年，波尔察诺的著作《纯粹分析的证明》的出版是微积分开始严格化的标志.在该书中波尔察诺处于证明代数基本定理的需要，首次用极限观点给出了连续性的定义，如在区间内任一处，只要充分小，就能使两点间距离任意小，则说明该函数在该区间上连续，他把导数定义为无限接近的趋向的量，波尔察诺是微积分开始严格化的前驱。  
柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在19世纪20年代陆续发表了3本著作：《工科学学分析教程》、《无限小计算概要》和《微积分讲义》，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限。并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”。这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义。  
但是，柯西的极限概念并没有严格的数学定义而是停留在直观的描述上面，所以在他的著作的叙述中不是用严格的数学语言表达，他的函数概念并没有完全脱离解析方式的束缚，在函数的连续性和可微性方面也欠明确等等.因此，他的微积分虽然具有近代的形式但它的基础并不牢固。  
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