学习非线性规划和二次规划

小咪咪 2024-03-30 13:38 85阅读 0赞

## 非线性规划 ##

### 非线性规划模型(NP) ###

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。  
![在这里插入图片描述][52bb361cf57647db80747b8cf7eea92a.png]  
![在这里插入图片描述][ca673212a4c0405690f8ddbe13782450.png]  
![在这里插入图片描述][22b7a6ecb1af445ca4bb7e9cdc80b91e.png]

### 非线性规划的数学模型 ###

![在这里插入图片描述][ba0b6c66541347ad823ad82b06b1b1cc.png]  
![在这里插入图片描述][e7c38520b88f474f909424f39766cfc7.png]  
![在这里插入图片描述][96c21a4bb65f4c7fa8a5fe7974f8c125.png]

### 列 ###

求下列非线性规划  
![在这里插入图片描述][26c2eccddf3641c8890c217dcb443f53.png]  
代码

%将以下代码分别复制到MATLAB® 路径上名为fun1.m和fun3.m 的文件中。
        % fun1.m内容
        % function f=fun1(x)
        % f=sum(x.^2)+8;
                % fun3.m内容
                % function [g,h]=fun3(x)
                % g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
                %     x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
                % h=[-x(1)-x(2)^2+2
                %     x(2)+2*x(3)^2-3];
    
                
    [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun3')%主代码仅仅只有这一行

运行结果  
![在这里插入图片描述][2d4de0a8758d4b4fbfc88ad4a374a476.png]  
这段老师给的代码一开始并没有成功运行，因为将所有的函数都放在同一个脚本里了，导致函数定义和引用失败  
笔者自己在不能运行上述代码的情况下自己编辑了一段代码

fun=@(x)x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2+8;
    A=[];
    b=[];
    Aeq=[];
    beq=[];
    x0=rand(3,1);
    nonlcon=@fun2;  %调用了路径为fun.2的函数
                    %函数fun.2内容
                    % function [c,ceq]=fun2(x)
                    % c=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
                    %     x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
                    % ceq=[-x(1)-x(2)^2+2
                    %     x(2)+2*x(3)^2-3];
    x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1),[],nonlcon)

运行结果  
![在这里插入图片描述][8efc73a5df7f44cca1eaa7746d08c08f.png]  
笔者自己编写的代码虽然也能解出x的最优解，但并没有直接求出y的解。但在笔者编写此代码时，成功的创建和引用了函数fun2，这一点启发笔者想到第一段代码为何运行失败，后经过改正第一段代码得以成功运行。

## 二次规划 ##

![在这里插入图片描述][3fcdfda5024d47669619812fa77dd921.png]  
Matlab  
中求解二次规划的命令是  
\[x,fval\]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)  
返回值x是决策向量x的值，返回值fval是目标函数在x处的值（具体细节可以参看在Matlab命令窗口中运行help quadprog后的帮助）

### 例子 ###

![在这里插入图片描述][a389ded2dfcf4864aa0b6b25cb09fc23.png]

h=[4,-4;-4,8];
    f=[-6;-3];
    a=[1,1;4,1];
    b=[3;9];
    [x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

运行结果  
![在这里插入图片描述][161de88b81ea48bd8e4103616fa0b6bf.png]

### 应用实例：供应与选址 ###

![在这里插入图片描述][f7512b5f8e254c19990ff04bb68d503a.png]

### 建立模型 ###

![在这里插入图片描述][c6114c91fce447b0a57001ecdba2dccc.png]

### 使用临时料场的情形 ###

![在这里插入图片描述][2d960578f888447fa2e7e73ca7ad35a9.png]

第一问的解决  
代码

a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
    b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75];
    d=[3 5 4 7 6 11];
    x=[5 2];
    y=[1 7];
    e=[20 20];
    for i=1:6
        for j=1:2
            aa(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);
        end
    end  %计算每个料场到每个工地的距离
    CC=[aa(:,1);aa(:,2)]';%将两个料场到每个工地的距离以12维列向量的形式存放
    A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1];
    B=[20;20];%每个料场提供的水泥小于20吨
    Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;
        0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;
        0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0;
        0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0;
        0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0;
        0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1];
    beq=[d(1);d(2);d(3);d(4);d(5);d(6)];%两个料场向同一工厂提供的水泥等于该工厂日用量
    VLB=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];%下限
    VUB=[];%上限
    x0=[1 2 3 0 1 0 0 1 0 1 0 1];%初始值
    [xx,fval]=linprog(CC,A,B,Aeq,beq,VLB,VUB,x0)%返回目标函数在解 xx处的值：fval = f'*x

运行结果  
![在这里插入图片描述][c08ca2d6a07042a59f885972e16f8600.png]  
第二问的解决

### 改建两个新料场的情形 ###

![在这里插入图片描述][7525a362d8a5488093b24bc59e4f8d73.png]  
![在这里插入图片描述][548888526db349ceb2d0ab9ac45419fa.png]  
这里依旧需要两步  
先创建m文件liaochang.m去定义目标函数  
取初值x0并编辑主程序  
初值选择的不同，会导致最后收敛的结果不同。一般会随机生成出初值，然后运行产生结果，将结果作为初值重新编译运行代码。如果取得的结果更优，则重复上述步骤。如果没有取得更优结果，则默认结果为最优结果  
代码

%将以下代码分别复制到MATLAB® 路径上名为liaochang.m 的文件中
                % function f=liaochang(x)
                % a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
                % b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75];
                % d=[3 5 4 7 6 11];
                % e=[20 20];
                % f1=0;
                % for i=1:6
                %     s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
                %     f1=s(i)*x(i)+f1;
                % end
                % f2=0;
                % for i=7:12
                %     s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);
                %     f2=s(i)*x(i)+f2;
                % end
                % f=f1+f2;
    %主代码
    x0=[3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7]';
    A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
        0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0];
    B=[20;20];
    Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
        0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
        0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
        0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
        0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
        0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0];
    beq=[3;5;4;7;6;11];
    vlb=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];
    vub=[];
    [x,fval,exitflag]=fmincon('liaochang',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)

解决非线性问题依旧需要创建和引用目标函数  
运行结果  
![在这里插入图片描述][4b0d52b3f82e4363a37718dc93fad125.png]  
\[x,fval,exitflag,output\] = fmincon(\_\_\_) 还返回描述 fmincon 的退出条件的值 exitflag，以及提供优化过程信息的结构体 output。  
使用额外输出检查，要轻松检查解的质量，可请求 exitflag 和 output 输出。  
exitflag 值 1 表示该解是局部最小值。  
output 结构体报告有关求解过程的几个统计量。具体来说，它在 output.iterations 中给出迭代次数，在 output.funcCount 中给出函数计算次数，以及在 output.constrviolation 中给出可行性。

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