股票买卖问题全家桶（已团灭）

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2024-03-30 17:17 61阅读 0赞

## 动态规划 —— LeetCode"股票买卖问题" 全家桶 ##

`本文主要是根据leetcode题解视频整理的一套解决 "股票买卖问题"的思路和代码，一起来看看吧！`  
本文会先根据这些股票问题整理出通用的 “状态转移方程”，然后针对每个问题作出相应的改变。  
题目链接已贴出，输入输出示例等题目详情请看 **原题链接！**  
代码部分（java）是我自己整理的，供大家参考！  
*（过OI的话直接copy对应方法体即可）*

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#### 文章目录 ####

*  动态规划 —— LeetCode"股票买卖问题" 全家桶
 *  "股票买卖问题"总体分析
 *  题目
 *   *  121. 买卖股票的最佳时机（easy）
     *  122. 买卖股票的最佳时机 II（medium）
     *  123. 买卖股票的最佳时机 III（hard）
     *  188. 买卖股票的最佳时机 IV（hard）
     *  309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期（medium）
     *  714. 买卖股票的最佳时机含手续费（medium）
 *  总结

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## "股票买卖问题"总体分析 ##

**限制条件**

*  先买入才能卖出
 *  不能同时参加多笔交易，再次买入时，需要先卖出
 *  k >= 1才能进行交易，否则没有交易次数

**定义操作**

*  买入(buy)
 *  卖出（sell）
 *  不操作(沿用上一次的数据)

**定义状态**

*  i:天数
 *  k:交易次数，每次交易包含买入和卖出，这里我们只在买入的时候需要将k - 1（这里解释一下：因为题目规定如果手中有股票是不能继续买入的，所以买入和卖出是一组连续的操作，我们只需要在其中一处－1即可。）
 *  0:不持有股票
 *  1:持有股票

举例

举例
    dp[i][k][0]//第i天还可以交易k次手中没有股票
    dp[i][k][1]//第i天还可以交易k次手中有股票
    
    最终的最大收益是dp[n - 1][k][0]而不是dp[n - 1][k][1]，
    因为最后一天卖出肯定比持有收益更高

状态转移方程

//今天没有持有股票，分为两种情况:
    // 1. dp[i - 1][k][0]，昨天没有持有，今天不操作。
    // 2. dp[i - 1][k][1] + prices[i]昨天持有，今天卖出，今天手中就没有股票了。
    dp[i][k][0] = Math.max( dp[i - 1][k][0]，dp[i - 1][k][1] + prices[i])
    
    //今天持有股票，分为两种情况:
    // 1.dp [i - 1][k][1]昨天持有，今天不操作
    // 2.dp[i - 1][k - 1][0] - prices [i]昨天没有持有，今天买入。
    dp[i][k][1] = Math.max(dp[i - 1][k][1]，dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i])
    //最大利润就是这俩种情况的最大值

下面这张图可以帮助理解状态转移方程的由来  
![在这里插入图片描述][99c2c6268d5f46458ca25dafbc579a93.png]

## 题目 ##

### 121. 买卖股票的最佳时机（easy） ###

原题链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/

> 题目：  
> 给定一个数组 prices ，它的第i 个元素prices\[i\] 表示一支给定股票第 i 天的价格。  
> 你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。  
> 返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

**分析**

//第i天不持有由第i-1天不持有然后不操作和第i-1天持有然后卖出两种情况的最大值转移过来
     dp[i][1][0] = Math.max(dp[i - 1][1][0], dp[i - 1][1][1] + prices[i])
    //第i天持有由第i-1天持有然后不操作和第i-1天不持有然后买入两种情况的最大值转移过来
     dp[i][1][1] = Math.max( dp[i - 1][1][1],dp[i - 1][0][0] - prices[i])
    //           = Math.max(dp[i-1][1][1],-prices[i])// k=0时没有交易次数，dp[i-1][0][0] = 0
    
    k是固定值1，不影响结果，所以可以不用管，简化之后如下
    dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] + prices[i])
    dp[i][1] = Math.max ( dp[i - 1][1],-prices [i])

**code**

public class dp_买卖股票的最佳时机121 {
        
        public static void main(String[] args) {
        
            int[] num = {
        7, 1, 5, 3, 6, 4};
    //        int[] num = {7, 6, 4, 3, 1};
            System.out.println(maxProfit(num));
        }
    
        /*//完整代码
        public static int maxProfit(int[] prices) {
            int length = prices.length;
            int[][] dp = new int[length][2];
            dp[0][0] = 0;//第0天不持有
            dp[0][1] = -prices[0];//第0天持有
            for (int i = 1; i < length; i++) {
                dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
                dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
            }
            return dp[length - 1][0];
        }*/
    
        /*//状态压缩，利用滚动数组降维
        public static int maxProfit(int[] prices) {
            int length = prices.length;
            int[] dp = new int[2];
            dp[0] = 0;//第0天不持有
            dp[0] = -prices[0];//第0天持有
            for (int i = 1; i < length; i++) {
                dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i]);
                dp[1] = Math.max(dp[1], -prices[i]);
            }
            return dp[0];
        }*/
    
    
        //语义化
        public static int maxProfit(int[] prices) {
        
            int sell = 0;//出售
            int buy = -prices[0];//买入
            for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        
                sell = Math.max(sell, buy + prices[i]);
                buy = Math.max(buy, -prices[i]);
            }
            return sell;
        }
    }

> 这道题还有一个我自己实现的版本，  
> 思路是：前i天的最大收益 = max\{前i-1天的最大收益，第i天的价格-前i-1天中的最小价格\}

public class dp_买卖股票的最佳时机121_self {
        
        //        动态规划 前i天的最大收益 = max{前i-1天的最大收益，第i天的价格-前i-1天中的最小价格}
        public static void main(String[] args) {
        
            int[] num = {
        7, 1, 5, 3, 6, 4};
    //        int[] num = {7, 6, 4, 3, 1};
            System.out.println(maxProfit(num));
        }
    
        public static int maxProfit(int[] prices) {
        
            int[] dp = new int[prices.length];
            int min = prices[0];
            for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        
                dp[i] = Math.max(dp[i - 1], prices[i] - min);
                min = Math.min(min, prices[i]);
            }
            return dp[dp.length - 1];
        }
    }

### 122. 买卖股票的最佳时机 II（medium） ###

原题链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/

> 题目：  
> 给你一个整数数组 prices ，其中 prices\[i\] 表示某支股票第 i 天的价格。  
> 在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。  
> 返回 你能获得的 最大 利润。

**分析**

//第i天不持有由第i-1天不持有然后不操作和第i-1天持有然后卖出两种情况的最大值转移过来
    dp[i][k][0] = Math.max(dp[i - 1][k][0],dp[i - 1][k][1] + prices[i])
    //第i天持有由第i-1天持有然后不操作和第i-1天不持有然后买入两种情况的最大值转移过来
    dp[i][k][1] = Math.max(dp[i - 1][k][1],dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i])
    
    k同样不影响结果，简化之后如下
    dp[i][0] = Math.max( dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
    dp[i][1] = Math.max( dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])

**code**

public class dp_买卖股票的最佳时机122 {
        
        public static void main(String[] args) {
        
    //        int[] num = {7, 1, 5, 3, 6, 4};
            int[] num = {
        1, 2, 3, 4, 5};
            System.out.println(maxProfit(num));
        }
    
        //    完整代码
        /*public static int maxProfit(int[] prices) {
            int length = prices.length;
            int[][] dp = new int[length][2];
            dp[0][0] = 0;//第0天不持有
            dp[0][1] = -prices[0];//第0天买入 花了prices[0]元
            for (int i = 1; i < length; i++) {
                dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
                dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            }
            return dp[length - 1][0];
        }*/
    
        //  状态压缩，利用滚动数组去掉一维
        /*public static int maxProfit(int[] prices) {
            int length = prices.length;
            int[] dp = new int[2];
            dp[0] = 0;
            dp[1] = -prices[0];
            for (int i = 1; i < length; i++) {
                dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i]);
                dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i]);
            }
            return dp[0];
        }*/
    
        //语义化
        public static int maxProfit(int[] prices) {
        
            int sell = 0;
            int buy = -prices[0];
            for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        
                sell = Math.max(sell, buy + prices[i]);
                buy = Math.max(buy, sell - prices[i]);
            }
            return sell;
        }
    }

### 123. 买卖股票的最佳时机 III（hard） ###

原题链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

> 题目：  
> 给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。  
> 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。  
> 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

**分析**

状态转移方程
    dp[i][k][0] = Math.max( dp[i - 1][k][0]，dp[i - 1][k][1] + prices[i])
    dp[i][k][1] = Math.max(dp[i - 1][k][1]，dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i])
    
    k对结果有影响不能舍取,只能对k进行循环
    for ( let i = 0; i < n; i++) {
        
        for (let k = maxK; k >= 1; k--) {
        
            dp[i][k][0] = Math.max( dp[i - 1][k][0]，dp[i - 1][k][1] + prices[i] );
            dp[i][k][1] = Math.max(dp[i - 1][k][1]，dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i] );
        }
    }
    
    // k=2，由于k很小,这里直接写出循环的结果来进一步优化
    dp[i][2][0] = Math.max(dp[i - 1][2][0]，dp[i - 1][2][1] + prices[i])
    dp[i][2][1] = Math.max(dp[i - 1][2][1], dp[i - 1][1][0] - prices[i])
    
    dp[i][1][0] = Math.max(dp[i - 1][1][0]，dp[i - 1][1][1] + prices[i])
    dp[i][1][1] = Math.max( dp[i - 1][1][1],dp[i - 1][0][0] - prices[i])
                = Math.max(dp[i - 1][1][1],-prices[i])// k=0时没有交易次数,dp[i - 1][0][0] = 0
    
    //去掉i这一维度
    dp[2][0] = Math.max( dp[2][0], dp[2][1] + prices[i])
    dp[2][1] = Math.max(dp [2] [1], dp[1][0] - prices[i])
    
    dp[1][0] = Math.max( dp[1][0], dp[1][1] + prices [i])
    dp[1][1] = Math.max( dp[1][1], dp[0][0] - prices [i] )
             = Math.max(dp[1][1],-prices[i])// k=0时没有交易次数，dp[i - 1][0][0] = 0

**code**

public class dp_买卖股票的最佳时机123 {
        
        public static void main(String[] args) {
        
            int[] num = {
        3, 3, 5, 0, 0, 3, 1, 4};
    //        int[] num = {1, 2, 3, 4, 5};
            System.out.println(maxProfit(num));
        }
    
        //完整代码 + 降维 + 语义化
        public static int maxProfit(int[] prices) {
        
            int length = prices.length;
            int sell1 = 0, sell2 = 0;
            int buy1 = -prices[0], buy2 = -prices[0];
    
            for (int i = 1; i < length; i++) {
        
                sell2 = Math.max(sell2, buy2 + prices[i]);
                buy2 = Math.max(buy2, sell1 - prices[i]);
                sell1 = Math.max(sell1, buy1 + prices[i]);
                buy1 = Math.max(buy1, -prices[i]);
            }
            return sell2;
        }
    
    }

### 188. 买卖股票的最佳时机 IV（hard） ###

原题链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

> 题目：  
> 给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices\[i\] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。  
> 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。  
> 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

**分析**

> 总体情况和122题类似，  
> 122题可以交易无数次，188交易k次，所以直接在加一层k循环就可以  
> 122最后的递推方程:  
> sell = Math.max( sell,buy + prices \[i\] );  
> buy = Math.max ( buy, -prices\[i\] );

**code**

public class dp_买卖股票的最佳时机188 {
        
        public static void main(String[] args) {
        
            int[] num = {
        2, 4, 1};
    //        int[] num = {3,2,6,5,0,3};
            System.out.println(maxProfit(2, num));
        }
    
        //完整代码 + 降维 + 语义化
        public static int maxProfit(int k, int[] prices) {
        
            int n = prices.length;
            int[][] dp = new int[k + 1][2];//和123题—样求出所有k的状态
            //初始化k次交易买入卖出的利润
            for (int i = 0; i <= k; i++) {
        
                dp[i][0] = -prices[0];//buy  表示有股票
                dp[i][1] = 0;//sell 表示没有股票
            }
            for (int price : prices) {
        
                for (int j = 1; j <= k; j++) {
        
                    //122题可以交易无数次，188交易k次，所以直接在加一层k循环就可以
                    //122最后的递推方程:
                    //sell = Math.max( sell,buy + prices [i] );
                    //buy = Math.max ( buy, -prices[i] );
                    dp[j][1] = Math.max(dp[j][1], dp[j][0] + price);
                    dp[j][0] = Math.max(dp[j][0], dp[j - 1][1] - price);
                }
            }
            return dp[k][1];//返回第k次清空手中的股票之后的最大利润
    
        }
    
    }

### 309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期（medium） ###

原题链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/

> 题目：  
> 给定一个整数数组prices，其中第 prices\[i\] 表示第 i 天的股票价格 。  
> 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:  
> 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。  
> 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

**分析**

状态转移方程
    dp[i][k][0] = Math.max( dp[i - 1][k][0],dp[i - 1][k][1] + prices[i])
    //冷却时间1天，所以要从i - 2天转移状态
    //买入，卖出—---冷冻期—---买入，卖出
    dp[i][k][1] = Math.max(dp[i - 1][k][1],dp[i - 2][k - 1][0] - prices[i])
    
    题目不限制k的大小，可以舍去
    dp[i][0] = Math.max( dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
    dp[i][1] = Math.max( dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i])
    //降维i
    dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices [i])
    dp[1] = Math.max (dp[1], profit_freeze - prices [i])

**code**

public class dp_买卖股票的最佳时机含冷冻期309 {
        
        public static void main(String[] args) {
        
    //        int[] num = {1, 2, 3, 0, 2};//3
            int[] num = {
        1};//0
            System.out.println(maxProfit(num));
        }
    
        //完整代码 + 降维 + 语义化
        public static int maxProfit(int[] prices) {
        
            int n = prices.length;
            int buy = -prices[0];//手中有股票
            int sell = 0;//没有股票
            int profit_freeze = 0;
            for (int i = 1; i < n; i++) {
        
                int temp = sell;
                sell = Math.max(sell, buy + prices[i]);
                buy = Math.max(buy, profit_freeze - prices[i]);
                profit_freeze = temp;
            }
            return sell;
        }
    }

### 714. 买卖股票的最佳时机含手续费（medium） ###

原题链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/

> 题目：  
> 给定一个整数数组 prices，其中 prices\[i\]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。  
> 你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。  
> 返回获得利润的最大值。  
> 注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

**分析**

状态转移方程
    //每次交易要支付手续费我们定义在卖出的时候扣手续费
    dp[i][0] = max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] + prices [i] - fee)
    dp[i] [1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])

**code**

public class dp_买卖股票的最佳时机含手续费714 {
        
        public static void main(String[] args) {
        
            int fee = 2;
    //        int fee = 3;
            int[] num = {
        1, 3, 2, 8, 4, 9};//8
    //        int[] num = {1,3,7,5,10,3};//6
            System.out.println(maxProfit(num, fee));
        }
    
        //完整代码 + 降维 + 语义化
        public static int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        
            int sell = 0;
            int buy = -prices[0];
            for (int price : prices) {
        
                sell = Math.max(sell, buy + price - fee);
                buy = Math.max(buy, sell - price);
            }
            return sell;
        }
    }

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## 总结 ##

`"股票买卖问题"是动态规划的一种，核心思想还是那句话：“当前的结果都是由之前的过程推导出来的” ，需要注意的是，股票问题属于一类问题，我们应对其进行一个总体的思考，根据限制条件和相应操作来定义状态，本题需要定义三个状态，但是具体到每道题的话，我们可以将不需要的状态去掉，并且可以通过滚动数组降维，从而进行状态压缩，最后通过适当的语义化来增强可读性。`

*参考leetcode中的视频讲解：[一种解法团灭买卖股票问题][Link 1]*

文章粗浅，希望对大家有帮助！

[99c2c6268d5f46458ca25dafbc579a93.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/79f4f23bd3234bfe8d7c37ec85509b88.png
[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/solution/mai-mai-gu-piao-wen-ti-by-chen-wei-f-uye0/