空间中三维矢量（Vectors in 3D space）

清疚 2021-07-16 12:18 1394阅读 0赞

本文回顾三维空间中矢量的一些基本概念，虽然这些知识在高中数学中就已学到，但真的是会经常忘记

# 1.坐标系相关内容 #

## 1.1 单位矢量（Unit vector） ##

如下图所示，矢量i−、j−、k−分别是长度为1的矢量（即单位矢量）  
![这里写图片描述][20160429095816934]

## 1.2 坐标基（Base vectors for a rectangular coordinate system） ##

三个相互正交的单位矢量

## 1.3 右手系（Right handed system） ##

由满足右手螺旋准则的三个相互正交的单位矢量构成的坐标系，上图就是一个由坐标基i−、j−、k−构成的右手坐标系

# 2.矢量 #

## 2.1 矢量的坐标分量（Rectangular component of a Vector） ##

矢量A−−沿着坐标系的三个轴上的投影Ax、Ay、Az即为矢量A−−的坐标分量，如下图所示：  
![这里写图片描述][20160429100927200]

## 2.2 矢量的表示 ##

空间矢量可以利用它的三个坐标分量和坐标基表示，上图的矢量A−−可以表示如下：

A−−=Axi−\+Ayj−\+Azk−

矢量A−−的坐标为：(Ax,Ay,Az)

## 2.3 矢量的方向角和方向余弦 ##

*  方向角：矢量与坐标轴的夹角
 *  方向余弦：方向角的余弦

任何一个矢量的**方向**都可以由它的方向角来决定

如下图所示，α,β,γ分别是矢量A−−的三个方向角、cos(α),cos(β),cos(γ)分别是矢量A−−的三个方向余弦

![这里写图片描述][20160429101655647]

## 2.4 矢量的矢量分量和它的方向余弦之间的关系 ##

矢量A−−的长度为A:

A=Ax2\+Ay2\+Az2−−−−−−−−−−−−−−√

那么，矢量的矢量分量和它的方向余弦之间的关系可以表示如下：

cos(α)=AxA

cos(β)=AyA

cos(γ)=AzA

反之：

Ax=A∗cos(α)

Ay=A∗cos(β)

Az=A∗cos(γ)

注：  
矢量方向向量的另外一种表示：

![这里写图片描述][20160429104640733]

[20160429095816934]: /images/20210716/bfdf63f2b93243d59c1b0b92afe80442.png
[20160429100927200]: /images/20210716/4be2a9eee7594fcdaea4e2a797464830.png
[20160429101655647]: /images/20210716/5f6a6e8b66e14c15be470885e60142c8.png
[20160429104640733]: /images/20210716/6832294e8fbe4450a5505fb37ccfd3a2.png

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