来自北京大学NOIP金牌选手yxc的常用代码模板1——基础算法

短命女 2021-07-24 19:24 311阅读 0赞

### 目录 ###

*   *   *   *  1.快速排序算法模板
             *  2.归并排序算法模板
             *  3.整数二分算法模板
             *  4.浮点数二分算法模板
             *  5.高精度加法
             *  6.高精度减法
             *  7.高精度乘低精度
             *  8.高精度除以低精度
             *  9.一维前缀和
             *  10.二维前缀和
             *  11.一维差分
             *  12.二维差分
             *  13.位运算
             *  14.双指针算法
             *  15.离散化
             *  16.区间合并

#### 1.快速排序算法模板 ####

void quick_sort(int q[], int l, int r)
    { 
        if (l >= r) return;
    
        int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
        while (i < j)
        { 
            do i ++ ; while (q[i] < x);
            do j -- ; while (q[j] > x);
            if (i < j) swap(q[i], q[j]);
        }
        quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
    }

#### 2.归并排序算法模板 ####

void merge_sort(int q[], int l, int r)
    { 
        if (l >= r) return;
        int mid = l + r >> 1;
        merge_sort(q, l, mid);
        merge_sort(q, mid + 1, r);
    
        int k = 0, i = l, j = mid + 1;
        while (i <= mid && j <= r)
            if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
            else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    
        while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    
        for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
    }

#### 3.整数二分算法模板 ####

bool check(int x) { /* ... */} // 检查x是否满足某种性质
    
    // 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
    int bsearch_1(int l, int r)
    { 
        while (l < r)
        { 
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    }
    // 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
    int bsearch_2(int l, int r)
    { 
        while (l < r)
        { 
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (check(mid)) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return l;
    }

#### 4.浮点数二分算法模板 ####

bool check(double x) { /* ... */} // 检查x是否满足某种性质
    
    double bsearch_3(double l, double r)
    { 
        const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
        while (r - l > eps)
        { 
            double mid = (l + r) / 2;
            if (check(mid)) r = mid;
            else l = mid;
        }
        return l;
    }

#### 5.高精度加法 ####

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
    vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
    { 
        if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
    
        vector<int> C;
        int t = 0;
        for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
        { 
            t += A[i];
            if (i < B.size()) t += B[i];
            C.push_back(t % 10);
            t /= 10;
        }
    
        if (t) C.push_back(t);
        return C;
    }

#### 6.高精度减法 ####

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
    vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
    { 
        vector<int> C;
        for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
        { 
            t = A[i] - t;
            if (i < B.size()) t -= B[i];
            C.push_back((t + 10) % 10);
            if (t < 0) t = 1;
            else t = 0;
        }
    
        while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
        return C;
    }

#### 7.高精度乘低精度 ####

// C = A * b, A >= 0, b > 0
    vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
    { 
        vector<int> C;
    
        int t = 0;
        for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
        { 
            if (i < A.size()) t += A[i] * b;
            C.push_back(t % 10);
            t /= 10;
        }
    
        while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
        return C;
    }

#### 8.高精度除以低精度 ####

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
    vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
    { 
        vector<int> C;
        r = 0;
        for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
        { 
            r = r * 10 + A[i];
            C.push_back(r / b);
            r %= b;
        }
        reverse(C.begin(), C.end());
        while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
        return C;
    }

#### 9.一维前缀和 ####

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
    a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

#### 10.二维前缀和 ####

`S[i, j] =`第`i`行`j`格子左上部分所有元素的和  
以`(x1, y1)`为左上角，`(x2, y2)`为右下角的子矩阵的和为：  
`S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]`

#### 11.一维差分 ####

给区间`[l, r]`中的每个数加上`c`：`B[l] += c`,`B[r + 1] -= c`

#### 12.二维差分 ####

给以`(x1, y1)`为左上角，`(x2, y2)`为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：  
`S[x1, y1] += c`, `S[x2 + 1, y1] -= c`, `S[x1, y2 + 1] -= c`, `S[x2 + 1, y2 + 1] += c`

#### 13.位运算 ####

求`n`的第`k`位数字: `n >> k & 1`  
返回n的最后一位`1`：`lowbit(n) = n & -n`

#### 14.双指针算法 ####

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
    { 
        while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
    
        // 具体问题的逻辑
    }

**常见问题分类：**  
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间  
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

#### 15.离散化 ####

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
    sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素
    
    // 二分求出x对应的离散化的值
    int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
    { 
        int l = 0, r = alls.size() - 1;
        while (l < r)
        { 
            int mid = l + r >> 1;
            if (alls[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
    }

#### 16.区间合并 ####

// 将所有存在交集的区间合并
    void merge(vector<PII> &segs)
    { 
        vector<PII> res;
    
        sort(segs.begin(), segs.end());
    
        int st = -2e9, ed = -2e9;
        for (auto seg : segs)
            if (ed < seg.first)
            { 
                if (st != -2e9) res.push_back({ st, ed});
                st = seg.first, ed = seg.second;
            }
            else ed = max(ed, seg.second);
    
        if (st != -2e9) res.push_back({ st, ed});
    
        segs = res;
    }