排序算法基础知识

淩亂°似流年 2021-07-24 15:36 340阅读 0赞

# 一 排序算法的介绍 #

排序也称排序算法(SortAlgorithm)，排序是将一组数据，依照指定的顺序进行排列的过程。

# 二 排序的分类 #

## 1 内部排序 ##

指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器( 内存)中进行排序。

## 2 外部排序 ##

因为数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储( 文件等)进行排序。

## 3 常见的排序算法分类 ##

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# 三 算法的时间复杂度 #

## 1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法 ##

### 1.1 事后统计的方法 ###

这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较哪个算法速度更快。

### 1.2 事前估算的方法 ###

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

## 2 时间频度 ##

### 2.1 基本介绍 ###

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。\[举例说明\]

### 2.2 举例说明-基本案例 ###

比如计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法。

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### 2.3 举例说明-忽略常数项 ###

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结论:

*  2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略。
 *  3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略。

### 2.4 举例说明-忽略低次项 ###

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结论:

*  2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
 *  n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

### 2.5 举例说明-忽略系数 ###

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结论:

随着 n 值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明这种情况下, 5 和 3 可以忽略。

而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键。

## 3 时间复杂度 ##

### 3.1 一般情况下， 算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)= Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。 ###

### 3.2 T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为 O(n² ²)。 ###

### 3.3 计算时间复杂度的方法 ###

a 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=3n²+7n+6 => T(n)=3n²+7n+1

b 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=3n²+7n+1 => T(n) = 3n²

c 去除最高阶项的系数 T(n) = 3n² => T(n) = n² => O(n²)

## 4 常见的时间复杂度 ##

*  常数阶 O(1)
 *  对数阶 O(log2n)
 *  线性阶 O(n)
 *  线性对数阶 O(nlog2n)
 *  平方阶 O(n^2)
 *  立方阶 O(n^3)
 *  k 次方阶 O(n^k)
 *  指数阶 O(2^n)

常见的时间复杂度

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说明

a 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

b 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法。

### 4.1 常数阶 O(1) ###

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)。

![20210307194408113.png][]

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

### 4.2 对数阶 O(log2n) ###

![20210307194424710.png][]

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 n 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)  。 O(log2n) 的这个2 实际上是根据代码变化的，i = i \* 3 ，则是 O(log3n) .

![20210307194439972.png][]

### 4.3 线性阶 O(n) ###

![20210307194500922.png][]

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

### 4.4 线性对数阶 O(nlogN) ###

![20210307194514766.png][]

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n \* O(logN)，也就是了O(nlogN)。

### 4.5 平方阶 O(n²) ###

![20210307194531199.png][]

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n\*n)，即  O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m\*n)。

### 4.6 立方阶 O(n³)、K 次方阶 O(n^k) ###

说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n 循环，其它的类似。

## 5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度 ##

*  平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
 *  最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。 一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
 *  平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关。

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# 四 算法的空间复杂度简介 #

*  类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。
 *  空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如：快速排序、归并排序算法和基数排序就属于这种情况。
 *  在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。 从用户使用体验上看 ， 更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)的本质就是用空间换时间。

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