应力偏张量的物理意义_形式化的意义

心已赠人 2021-09-07 05:58 439阅读 0赞

Phybi

Physics group

Math group

Carridon University

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**“在自然科学中，数学的巨大应用，****有点介于神秘的边界，对此还没有合理的解释.”**

——Eugene Wigner

**引子**

在从事科学活动的时候，我们需要知道自己在做什么吗？我们如何理解一个公式的意义？所谓理解，就是将事物纳入自己已有的框架之中——我们必须先要有一个框架，否则任何理解都是不可能发生的. 框架（framework）一词在某个意义上和形式（form）是同义的. 熟悉的形式能给我们带来对信息和理论的理解. 因此形式是重要. 此外，形式化也是科学美学的需要，甚至，形式化就是科学理论及其发展的一部分，是人们进行科学活动的脚手架.

1.  **什么是形式化？**

形式化（formalization），即将新的科学对象，整理为我们已知的熟悉的形式. 在物理学中有三个典型的例子：1. 流和力；2. 量子力学中概率流及连续性方程. 3. 哈密顿力学和量子力学的对应. 狄拉克的量子力学符号系统，则是另一种形式的形式化. 这种形式化，是完全用符号表征理论. 这点我们希望有能力日后加以讨论.

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图1 狄拉克符号

为了形式的经济性，理论家经常需要对某些量打包，定义一个能满足已有形式方程的量. 比如量力中的概率流，就是为了让它满足连续性的流体方程硬生生的定义出来的. 我们需要付出些代价（将某些量打包），损失一部分理论的经济性，而达到最终的经济性——一个简单的方程.

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图2 流体连续性方程

物理学和一切理论的根本动机，就是将尽可能多的现象或者规律，纳入到一个尽可能小的统一的框架中. 下图就是广义流和力的定义，以及常系数，这些定义是无法直观理解的，但是这个框架，则是可以直观理解的.

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图3 广义流的定义

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图4 广义流的例子-热流

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图5 广义流的例子-电路密度

在物理中，形式甚至比内容更重要，正是由于某些框架是人们可以理解的——从语言学的角度，叫做隐喻式的理解. 所以人们会努力定义物理量或者某些概念，夸张一点说，为了将其纳入那些已有的框架中，理论家们不惜“削足适履”. 于是理论就有了美感，有了逻辑的，简洁的美感——尽管这种做法存在一定的危险.

1.  **形式化和科学理解**

形式即模式，是个类似语言学中的隐喻的东西——隐喻帮助人们理解抽象或者新的语言对象，形式化之于科学理论也是如此.至少在物理里面，形式化能产生物理图像. 物理图像有时候挺重要的，关键是你能利用这个图像直观理解理论，甚至在这个直观图像下，推进科学思考——人类本质上还是直观的动物. 比如量力的概率流，这个概念是在流体力学的思路下定义出来的，在量子力学里，概率流，又称为概率通量，是描述概率密度流动的物理量. 假若将概率密度想像为非均匀流体。那么，概率流就是这流体的流率（概率密度乘以速度）. 当然概率流符合流体的连续性方程，然后你就理解了量子力学中的概率守恒——而概率流这个概念是纯数学的（形式的），一点物理意义都没有. 或者最多说，其物理意义是体现在连续性方程里面.

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图6 概率流及概率流守恒

隐喻在语言理解中存在曲解的危险，在语言思考中存在跑偏的危险. 形式化产生的物理图像也可能存在这种危险，可能会将科学思考带到沟里去...这是需要引起注意的，但是具体讨论超出了本文的范围.

形式化对科学理论的理解的帮助方式，是将新现象纳入旧框架，然后形成某个意义上的“理解”. 最典型的例子就是散射截面的概念，散射截面的物理意义：一个入射粒子经碰撞后，散射到方向单位立体角的几率. 其定义是抽象的，数学的，因此无法得知其物理意义，然而其量纲是距离的平方，因此可以类比为面积——这个类比让人直观地理解了这个量，比如如果散射面积大，我们就知道粒子发生散射的概率大. 我们还可以用散射截面进行加减，微分和积分等操作，就像对面积进行这些操作一样.

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图7 粒子的散射

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图8 散射截面和微分散射截面

需要注意的是，概念和数学量是我们构建理论大厦的building block. 我们需要打包某些概念，形成一个能在理论中通用概念群，然后借助这些二阶或更高阶的概念，继续发展理论——我们不可能借助简单的距离，时间，质量这些基本的量构建理论——尽管它们本质上来自这些基本量，正如我们无法用沙子或者黏土直接建房子一样——我们需要先用它们烧砖.

1.  **形式化和科学研究**

对于一个有正常审美的物理学家，方程的简单性是性命攸关的. 为了实现这点，我们就不得不付出一些代价（如上文所述），以一种非经济性换取最终的经济性.

典型的例子是狄拉克方程和爱因斯坦场方程，它们都是极度简洁优美的. 然而这点不可能凭空产生，前期需要做大量的打包工作. 比如许多符号都是高度压缩的. 比如狄拉克方程中的斜偏微分符号，以及爱因斯坦场方程中的各个张量.

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图9 狄拉克方程

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图10 爱因斯坦场方程

除了审美价值，形式化还能给我们带来什么东西呢？特别是内在的东西？答案很可能是肯定的——即形式化具有方法论上的本体性地位，而形式具有科学理论的本体性地位. 我们追求理论最大化的简洁性和普遍性，那就不得不做形式化的努力. 也就是将尽可能多的相关信息，纳入一个简单的形式之中. 这些形式有时候是深刻的.典型的例子是李群中的生成元理论. 在这个理论中，我们看到，群元素不是最基本的，生成元是某个意义上更加基本的. 而且利用生成元，我们还可以做很多其他的事情，并且更深刻地理解群论.

理论的对世界描述的统一性的追求，也是和物理理论进展的一个重要动力. 比如在当代相对论研究中，研究者试图扩大相对论中时空的维度，从四维到五维，声称能产生更加简洁的方程，并且能统一物质和电磁场和引力场. 这种增加维度的方法并不稀奇，这似乎是弦理论专家的惯用模式——通过增加维度而实现更大的对称性，或者更大的统一性——不过看起来只是个技术活.

**尾论**

形式化视角下的科学理论的讨论，其中奥秘大有文章可做. 本文只是冰山一角，其意义在于系统地提出了这个视角. 鉴于学识，讨论流于表面和肤浅，期待后来者更加深刻的讨论.

**参考文献**

1.  概率流\_百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E6%A6%82%E7%8E%87%E6%B5%81/22691802?fr=aladdin

1.  科学网—再谈广义力、广义流等 - 王晓钢的博文

http://wap.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=39346&do=blog&id=1187911

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