09 连续时间信号的抽样及其重建

淡淡的烟草味﹌ 2021-09-29 13:40 252阅读 0赞

# 连续时间信号的抽样及其重建 #

现研究一连续信号进行抽样转换为数字信号，经数字信号处理器(`DSP`)或计算机处理后，再进行重建的过程，具体过程如下：

![20181125211616311.png][]

其中采样/保持电路和`A/D`转换电路可以看做是一个理想抽样的过程，而`D/A`转换和平滑录播可以看做是一个理想内插的过程。

假设理想抽样信号为  
\\\[ \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}\\delta(t-nT\_s) \\\]

其中\\(T\_s\\)为抽样的周期。那么模拟信号\\(x\_a(t)\\)经理想抽样后得到的抽样信号\\(\\hat\{x\}\_a(t)\\)为  
\\\[ \\hat\{x\}\_a(t)=x\_a(t) \\cdot \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}\\delta(t-nT\_s) \\\]

设信号\\(x\_a(t)\\)的傅里叶变换为\\(X\_a(j\\Omega)\\),并且其最高频率为\\(\\Omega\_m\\),现研究抽样信号\\(\\hat\{x\}\_a(t)\\)的傅里叶变换。  
\\\[ \\begin\{aligned\} \\hat\{X\}\_a(j\\Omega)=F\[\\hat\{x\}\_a(t)\]&=F\[x\_a(t) \\cdot \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}\\delta(t-nT\_s)\] \\\\ &=\\frac\{1\}\{2\\pi\}X(j\\Omega)\*\\frac\{2\\pi\}\{T\_s\}\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}\\delta(\\Omega - n\\Omega\_s) \\\\ &=\\frac\{1\}\{T\_s\}\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}X(j(\\Omega - n\\Omega\_s)) \\end\{aligned\} \\\]

其中\\(\\Omega\_s=\\frac\{2\\pi\}\{T\_s\}\\)。

从上式中就可以看出抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓。

![20181125214021205.png][]

要保证频谱在周期延拓时不发生混叠，那么就要求  
\\\[ \\Omega\_s-\\Omega\_m\\geq\\Omega\_m \\Rightarrow\\Omega\_s\\geq2\\Omega\_m \\\]

把\\(\\Omega\_s=2\\Omega\_m\\)称为奈奎斯特采样频率，这是频谱不发生混叠允许的最小采样频率，此时可以通过一低通滤波器将信号恢复出来，若频谱发生了混叠，则很难将信号重建出来。

考虑信号的重建，由频谱图可知，通过一低通滤波器即可将信号完全的恢复出来，假设以频率\\(\\Omega\_s>2\\Omega\_m\\)进行抽样，考虑这么一个低通滤波器：

![20181125215218424.png][]

其傅里叶反变换为  
\\\[ h\_\{LP\}(t)=sinc(\\frac\{t\}\{T\_s\}) \\\]

其中\\(sinc(t)=\\frac\{sin(\\pi t)\}\{\\pi t\}\\)

由频谱关系知  
\\\[ X(j\\Omega)=\\hat\{X\}\_a(j\\Omega) \\cdot H\_\{LP\}(j\\Omega) \\\]

所以  
\\\[ \\begin\{aligned\} x\_a(t)&=\\hat\{x\}\_a(t) \* h\_\{LP\}(t) \\\\ &=x\_a(t) \\cdot \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}\\delta(t-nT\_s) \* h\_\{LP\}(t) \\\\ &=\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}x\_a(nT\_s)\\delta(t-nT\_s) \*sinc(\\frac\{t\}\{T\_s\}) \\\\ &=\\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}x\_a(nT\_s)sinc(\\frac\{1\}\{T\_s\}(t-nT\_s)) \\end\{aligned\} \\\]

这就是信号的重建，这个过程也被称为理想内插过程。

转载于:https://www.cnblogs.com/LastKnight/p/10958028.html

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