数学建模常规算法——层次分析法

不念不忘少年蓝@ 2021-10-15 15:55 615阅读 0赞

1.  层次分析法是将定性问题定量化处理的一种有效手段，根据不同的指标进行比对，得出最优解。层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。
2.  层次分析法的基本思路：  
    1）目标层：  
    2）准则层（指标层）  
    3）方案层
3.  **层次结构模型**：若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被所有因素所影响，称为\*\*\*完全层次结构\*\*\*，否则称为\*\*\*不完全层次结构\*\*\*。  
    1）完全层次结构  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzIxNzA2NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
    2）不完全层次结构  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzIxNzA2NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]
4.  **构造成对比较阵**：面对决策问题，要比较n个因素x1,x2…对目标z的影响，确定他们在z种的比重，用两两比较的方法将各因素的重要性量化。每次取两个因素xi,xj，用正数aij表示xi与xj的重要性之比。全部比较结果得到矩阵A=(aij)n\*n称为成对比较阵（正互反矩阵），显然有aij = 1/aji，aij > 0。
5.  **选取aij的值**：萨迪提出了一种方法，用数字1，2…9及其倒入1/2，1/3,…作为标度，其意义是

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>xi 比 xj</th> 
   <th>重要性相同</th> 
   <th>稍重要</th> 
   <th>重要</th> 
   <th>很重要</th> 
   <th>绝对重要</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>aij</td> 
   <td>1</td> 
   <td>3</td> 
   <td>5</td> 
   <td>7</td> 
   <td>9</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

在每两个等级之间有一个中间状态，aij可分别取值2，3，…，8。但在一般情况下不适用偶数表示。

1.  **一致性问题**：如果决策人对n个因素重要性的比较具有逻辑的绝对一致性，即aij \* jjk = aik ，i，j，k = 1，2，3…，n,我们称这样的成对比较矩阵为\*\*\*一致矩阵\*\*\*，由于客观的复杂性以及人们认识的多样性，构造出的成对比较矩阵常常不是一致矩阵，因此我们就要讨论一下我们建立的比较矩阵的不一致性是否在一个允许的范围内。
2.  **一致性检验**：  
    1）计算一致性指标CI用来衡量A的不一致程度。CI = (Rmax - n) / (n - 1)  
    2）查找相应的平均随机一致性指标RI  
    通过CI / RI < 1/10就说A的不一致程度是可接受的。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzIxNzA2NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]
3.  **计算权重向量**：当我们构造出了可接受的成对比较矩阵A ，我们就可以计算次层种n个因素在目标z中所占的比重，将这些比重写成向量并归一化即得权向量W = (w1,w2,…,wn)T。常用和法，特征值法求得权向量。
4.  **层次总排序即求各方案的综合得分**：前面同门求的都是在一层中各因素的权重，这个过程称为单层次排序，不妨设准则层权向量W = （w1，w2，…，wn）T，而方案层有I个方案可供选择，且每个方案的权向量分别为B1,B2,…,Bn,那么每个方案对最终目标的影响程度（C1，C2，…，Cn）就可以通过下面的式子算出来了  
    （C1，C2，…，Cn）= （B1,B2,…,Bn）\* w1，w2，…，wn）T  
    其中Ck就是第k个方案在目标z中所占的比重，也就是第k个方案的最终得分，得分最高的方案即为最优方案。
5.  **层次分析法的不足**：  
    1）它只能从现有的方案中选出较优的一个，并不能提供出一个新的或是更好的方案来。  
    2）该方法中的比较，判断以及结果都是比较粗的，并不适合精确的计算。  
    3）建立层次结构及成对比较矩阵，人的主观因素起很大作用，这是一个无法克服的缺点。

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