洛谷P3172 [CQOI2015]选数容斥+记忆化搜索

痛定思痛。 2021-10-26 15:46 287阅读 0赞

## [洛谷P3172][P3172] **\[CQOI2015\]选数** ##

### 标签 ###

*  容斥
 *  记忆化搜索

### 前言 ###

*  很好的题~可以反演后杜教筛，也可以推式子然后dp！！

### 简明题意 ###

*  给定\\(n,k,L,R\\)，需要你求出，求从区间\\(\[L,R\]\\)中选出\\(n\\)个数且他们的\\(gcd=k\\)的方案数。（可以重复选数）

### 思路 ###

*  我们假设一组样例，\\(n=2,k=3,L=2,R=10\\)。于是，我们需要从\\(\[2,10\]\\)中选出两个数，使得他们的\\(gcd=2\\)。一个很明显的东西，就是无论我们怎么选，选的这些数一定是\\(k\\)的倍数。
 *  我们发现，我们假设的样例中，k=3的倍数有3,6,9，假设个数为\\(x\\)，这里\\(x=3\\)。于是我们列出所有的选择方案，一共有\\(x^n=3^2=9\\)种方案，分别是：(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9)。显然，有一些的\\(gcd\\)显然是3，有一些的是6，有一些甚至是9。
 *  现在设\\(f(i)\\)是对于给定\\(n,k,L,R\\)，从中选出\\(n\\)个数且\\(gcd=i\\)的方案数。还是根据上面的样例，\\(f(2)=3^2-f(6)-f(9)\\)（琢磨一下这个式子怎么来的）。所以令\\(x=\[L,R\]\\)中\\(i\\)的倍数的个数，根据上面的样例，我们很容易知道  
    \\\[f(i)=x^n-f(2\*i)-f(3\*i)-...-f(m\*i)(m\*i<=R)\\\]
    
    > 这里讲一下x的求法。\\(x=\\frac Ri-\\frac\{L-1\}i\\).这个式子怎么来的可以自己举例就知道了
 *  这是一个递归式，显然，当\\(k=1,R=1e9\\)时，递推一定T。得优化。优化的突破口是这句话：\\(H-L<=10^5\\)。然后我们又有一个重要的性质：**从\\(\[l,r\]\\)中选若干个不相同的数，他们的\\(gcd\\)不超过\\(R-L\\)**。知道了这个性质，我们的\\(f(x)\\)就可以不用从\\(f(2\*i)\\)一直考虑到\\(f(m\*i)(m\*i<=R)\\)，因为\\(m\*i\\)根本不可能是\\(gcd\\)，从而只用从\\(f(2\*i)\\)考虑到\\(f(m\*i)(m\*i<= R-L)\\)，但是需要稍微改变一下。
 *  回忆\\(f(i)\\)的定义，它包含了选择相同数的情况。那么我们只计算选择不同数的情况，这样就能用上面说的\\(gcd\\)的性质，只需要最后减去选择相同数的方案数。但是很麻烦，设相同的方案数是p，当n=1,p显然是0，当n>=2，我们需要考虑\[L,R\]区间中k的倍数，然后组合数学计算。很麻烦。这里有一种简化方法:
 *  就是直接把L,R除以k，然后就变成在新的区间里找gcd==1的方案数了。这样之后，重复元素的方案数就很好算了，因为k=1，与1互质的数只有1，所以重复元素只能是1，只要新的L=1且要选2个数以上，那么方案数就+1，就这么简单。

### 注意事项 ###

*  减法操作直接取模会出问题，应该先加上模数再取模

### 总结 ###

*  从\\(\[l,r\]\\)中选若干个不相同的数，他们的\\(gcd\\)不超过\\(R-L\\)

### AC代码 ###

#include <cstdio> #include <unordered_map> using namespace std; const int mod = 1000000007; int ksm(int a, int b) { int base = a, ans = 1; while (b) { if (b & 1) ans = 1ll * ans * base % mod; base = 1ll * base * base % mod; b >>= 1; } return ans; } int n, k, l, r; unordered_map<int, int> rec; int f(int k) { if (rec[k] != 0) return rec[k]; int x = r / k - (l - 1) / k; int ans = ksm(x, n) - x; for (int i = 2; i * k <= r - l; i++) ans = (ans - f(i * k) + mod) % mod; return rec[k] = ans; } void solve() { scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &l, &r); l = (l % k == 0 ? l / k : l / k + 1); r /= k; k = 1; printf("%d", f(k) + (l == 1 && n >= 2)); } int main() { solve(); return 0; }

转载于:https://www.cnblogs.com/danzh/p/11299393.html

[P3172]: https://www.luogu.org/problem/P3172