199. 余数之和

Dear 丶 2021-10-29 14:26 275阅读 0赞

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题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/201/  
给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7。  
输入格式

输入仅一行，包含两个整数n, k。  
输出格式

输出仅一行，即j(n, k)。  
数据范围

1≤n,k≤109

输入样例：

5 3

输出样例：

7

分析:  
数学题，证明一大串。代码一丢丢。我这该死的智商呀。

首先：  
k%i = k - k / i \* i。  
故：  
k%i的和 等价于 n \* k - k / i \* i;  
所以，现在的目的转换成了求k/i \* i的和了。  
我们可以一个n = 10 k = 8 为例子，更加形象的说明。  
当i等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  
此时k/i 8 4 2 2 1 1 1 1 0 0  
我们可以发现：  
有一部分的值是会连续相等的。  
我们是否可以找到每一部份相等值得开头和结尾来进行求和，从而省去许多时间呢?  
我们假设x为开头，gx为结尾。  
那么可知  
k/x == k/gx（这里两个除法，都为向下取整）。  
那么可得gx = k / (floor)(k/x);  
从而我们可以用等差序列进行求和。这也是除法分块的思想。

#include"stdio.h"
    #include"string.h"
    #include"map"
    #include"algorithm"
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    
    ll n,k;
    ll sum;
    
    int main()
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        sum = n * k;
        for(int i = 1,gx; i <= n; i = gx + 1)
        {
            gx = (k / i  ? min(k/(k/i),n) : n);
            sum -= (k / i) * (i + gx) * (gx - i + 1) / 2;
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }

[80x15.png]: https://i.creativecommons.org/l/by-sa/4.0/80x15.png
[80x15.png 1]: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

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