《概率论与数理统计》：（二）随机变量及其分布

妖狐艹你老母 2021-10-29 14:32 583阅读 0赞

设随机试验的样本空间为S = \{ e \}。X = X(e) 是定义在样本空间S上的`实值单值函数`。称X = X(e) 为`随机变量`。  
  有许多随机试验，它们的结果本身是一个数。例如，用Y记某车间一天的缺勤人数，以W记某一地区第一季度的降雨量。我们一般以大写字母如X，Y，Z，… 表示随机变量，以小写字母x，y，z，… 表示实数。

#### 1. 离散型随机变量及其分布律 ####

有些随机变量，它的全部可能取到的值是有限个或可列无穷多，这种随机变量称为离散型随机变量。  
  设离散型随机变量X所有可能取值为xk（k =1,2,3,…），X取各个可能值的概率，即事件\{X = xk\} = pk ，k =1,2,3,…             （2.1）

我们称（2.1）为离散型随机变量X的`分布律`。分布律也可以用表格的形式表示

表格形式直观表示了随机变量X取各个值的概率的规律。

**三种重要的离散型随机变量：**

*  0 - 1分布
 *  伯努利试验、二项分布
 *  泊松分布

##### 1.1 （0 - 1）分布 #####

（0 - 1）分布的分布律为：

##### 1.2 伯努利试验、二项分布 #####

伯努利试验有一个在朴素贝叶斯分类器的应用：伯努利模型，详情请看：[sklearn模块之朴素贝叶斯：（二）伯努利模型的实现][sklearn]

*  伯努利试验：设试验E只有两种可能的结果：A和~A，则称E为`伯努利（Bernoulli）试验`。设P(A) = p (0 < p < 1)，此时P(~A) = 1 - p 。将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利实验。
 *  `二项分布`（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是  
    ![在这里插入图片描述][20190815144043113.jpg_pic_center]

##### 1.3 泊松分布 #####

泊松分布的分布律为：  
![在这里插入图片描述][20190816165604700.jpg_pic_center]  
其中λ > 0是常数，k = 0，1，2 …

#### 2. 随机变量的分布函数 ####

很多情况下，我们对随机变量的取值落在`某一区间`上的概率更感兴趣，如果我们可以得知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间（x1，x2 \]上的概率，这就是分布函数存在的意义。分布函数可以完整地描述随机变量的`统计规律`，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

*  定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数  
    ![在这里插入图片描述][2019081617064051.jpg_pic_center]  
    称为X的`分布函数`。

对于任意实数x1，x2（x1 < x2）![在这里插入图片描述][20190816170912997.jpg_pic_center]  
因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

#### 3. 连续型随机变量及其概率密度 ####

如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数 f（x），使对于任何实数x有  
![在这里插入图片描述][20190816171735971.jpg_pic_center]  
则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的`概率密度`函数。

##### 3.1 均匀分布 #####

若连续型随机变量X具有概率密度  
![在这里插入图片描述][20190816172125952.jpg_pic_center]  
则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。记为X ~ U（a，b）  
图像：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk5OTMyNw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
密度函数图像说明落在（a，b）的子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。

##### 3.2 指数分布 #####

暂不知道用途，略过。

##### 3.3 正态分布（高斯分布） #####

若连续型随机变量X的概率密度为：  
![在这里插入图片描述][20190816173040607.jpg_pic_center]  
则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为`正态分布`或`高斯分布`，记为X ~ N（μ，σ2）

图像：![在这里插入图片描述][2019081617352952.gif_pic_center]  
x离μ越远，f（x）的值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X落在这个区间上的概率越小。

#### 4. 随机变量的函数分布 ####

略。

--------------------

**参考资料**：《概率论与数理统计(第四版)》作/译者：盛骤 谢式千 潘承毅

[sklearn]: https://blog.csdn.net/weixin_43999327/article/details/99633413
[20190815144043113.jpg_pic_center]: /images/20211029/51a48d5292ad4d72b29bcffc97019bb6.png
[20190816165604700.jpg_pic_center]: /images/20211029/06317c3b79b64a818967125157139f00.png
[2019081617064051.jpg_pic_center]: /images/20211029/208a3cc80a7e43fb973c1f43e67f5f06.png
[20190816170912997.jpg_pic_center]: /images/20211029/614921a479294468815a6dd6cabb0879.png
[20190816171735971.jpg_pic_center]: /images/20211029/5a3265f2efdd458ca7fa828c566804ea.png
[20190816172125952.jpg_pic_center]: /images/20211029/9462baaa1ced4666afad08cfabd2cd15.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk5OTMyNw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20211029/42f3a8a248854478ab59fdeea5d6c0dc.png
[20190816173040607.jpg_pic_center]: /images/20211029/88281236fa994d82853422984ebd9135.png
[2019081617352952.gif_pic_center]: /images/20211029/ae69a9b638b44ec5a333c0a0872ad36f.png