二分查找法 Binary Search

今天药忘吃喽~ 2021-11-23 06:30 197阅读 0赞

## 二分查找法 Binary Search ##

在对线性表的操作中，经常需要查找某一个元素在线性表中的位置。此问题的输入是待查元素x和线性表L，输出为x在L中的位置或者x不在L中的信息。

比较自然的想法是一个一个地扫描L的所有元素，直到找到x为止。这种方法对于有n个元素的线性表在最坏情况下需要n次比较。一般来说，如果没有其他的附加信息，在有n个元素的线性表中查找一个元素在最坏情况下都需要n次比较。

下面我们考虑一种简单的情况。假设该线性表已经排好序了，不妨设它按照主键的递增顺序排列（即由小到大排列）。在这种情况下，我们是否有改进查找效率的可能呢？

如果线性表里只有一个元素，则只要比较这个元素和x就可以确定x是否在线性表中。因此这个问题满足分治法的第一个适用条件；同时我们注意到对于排好序的线性表L有以下性质：

比较x和L中任意一个元素L\[i\]，若x=L\[i\]，则x在L中的位置就是i；如果x<L\[i\]，由于L是递增排序的，因此假如x在L中的话，x必然排在L\[i\]的前面，所以我们只要在L\[i\]的前面查找x即可；如果x>L\[i\]，同理我们只要在L\[i\]的后面查找x即可。无论是在L\[i\]的前面还是后面查找x，其方法都和在L中查找x一样，只不过是线性表的规模缩小了。这就说明了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在L\[i\]的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适用条件。

于是我们得到利用分治法在有序表中查找元素的算法。

function Binary_Search(L,a,b,x);
    begin
    if a>b then return(-1)
    else begin
    m:=(a+b) div 2;
    if x=L[m] then return(m)
    else if x>L[m]
    then return(Binary_Search(L,m+1,b,x));
    else return(Binary_Search(L,a,m-1,x));
    end;
    end;

在以上算法中，L为排好序的线性表，x为需要查找的元素，b,a分别为x的位置的上下界，即如果x在L中，则x在L\[a..b\]中。每次我们用L中间的元素L\[m\]与x比较，从而确定x的位置范围。然后递归地缩小x的范围，直到找到x。

下面分析该算法的复杂性。设在n个元素的数组中查找x需要的比较次数为T(n)，如果每次比较x和L\[m\]时，总有x<>L\[m\]，即x根本不在L中，则：

> T(n)=2+T(n/2),T(1)=1

该方程的解为T(n)=O(logn)。所以在最坏情况下二分查找法的复杂度为O(logn)。

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