向量空间和线性映射

左手的ㄟ右手 2021-12-01 13:54 414阅读 0赞

### 向量空间 ###

声明：**线性代数**研究的是有**限维向量空间**之间的线性映射关系，而无限维向量空间之间的映射关系称为线性函数分析或线性算子理论。

##### 向量空间需满足的几点要求： #####

*  闭合性（closure properties）
    
     *  **加法的闭合性**，即该向量空间 V \\bm V V内的任意两个向量相加还在该向量空间 V \\bm V V内。（closure for addition）
     *  **数乘的闭合性**，即标量域 S S S的数与向量空间 V \\bm V V中的向量在数乘之后得到的向量依然在该向量空间 V \\bm V V中。（closure for scalar multiplication）
     *  加法的公里四条（略）
     *  数乘的四条公里（略）

> 由于以上定义的向量空间服从向量加法的交换率、结合律以及标量数乘的结合律、分配率，所以这样的向量空间也称为**线性空间**。

##### 向量空间的子空间 #####

R n \\mathbb R^n Rn的子集合 W \\bm W W是 R n \\mathbb R^n Rn的一个子空间，当且仅当以下三个条件均满足：

*   x , y ∈ W ⇒ ( x + y ) ∈ W \\bm x,\\bm y\\in \\bm W\\Rightarrow(\\bm x+\\bm y)\\in\\bm W x,y∈W⇒(x\+y)∈W，即在子空间中要满足加法的闭合性。
 *  当 x ∈ W \\bm x\\in \\bm W x∈W，且 a a a为标量（scalar），则 a x a\\bm x ax也属于 W \\bm W W，即满足与标量乘积的闭合性。
 *  零向量 0 \\bm 0 0是 W \\bm W W的元素。

### 线性映射（linear mapping） ###

> 线性是**叠加性**和**齐次性**的合成。

若 u 1 , ⋯ &ThinSpace; , u p \\bm u\_1,\\cdots,\\bm u\_p u1,⋯,up均为线性变换 T T T（也称线性映射）的定义域的向量，则有 T ( c 1 u 1 + ⋯ + c p u p ) = c 1 T ( u 1 ) + ⋯ + c p T ( u p ) T(c\_1\\bm u\_1+\\cdots+c\_p\\bm u\_p)=c\_1T(\\bm u\_1)+\\cdots+c\_pT(\\bm u\_p) T(c1u1\+⋯\+cpup)=c1T(u1)\+⋯\+cpT(up)  
识别一个系统是否为线性系统的**判据**是：

*  如果系统的输入为线性表达式 y = c 1 u 1 + ⋯ + c p u p \\bm y=c\_1\\bm u\_1+\\cdots+c\_p\\bm u\_p y=c1u1\+⋯\+cpup，则该系统的输出也满足相同的线性关系 T ( y ) = T ( c 1 u 1 + ⋯ + c p u p ) = c 1 T ( u 1 ) + ⋯ + c p T ( u p ) T(\\bm y)=T(c\_1\\bm u\_1+\\cdots+c\_p\\bm u\_p)=c\_1T(\\bm u\_1)+\\cdots+c\_pT(\\bm u\_p) T(y)=T(c1u1\+⋯\+cpup)=c1T(u1)\+⋯\+cpT(up)时，该系统为线性系统；否则为非线性系统。