指数平滑法——趋势平滑预测方法

布满荆棘的人生 2021-12-11 12:49 573阅读 0赞

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**指数平滑法（Exponential Smoothing，ES）**

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     <li><a href="https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%B3%E6%BB%91%E6%B3%95#.E6.8C.87.E6.95.B0.E5.B9.B3.E6.BB.91.E6.B3.95.E7.9A.84.E5.9F.BA.E6.9C.AC.E5.85.AC.E5.BC.8F" rel="nofollow">2&nbsp;指数平滑法的基本公式</a></li> 
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    </ul></td> 
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## 什么是指数平滑法 ##

指数平滑法是[布朗][Link 1](Robert G..Brown)所提出，布朗(Robert G..Brown)认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续到最近的未来，所以将较大的权数放在最近的资料。

指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。也用于中短期经济发展趋势[预测][Link 2]，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种。简单的全期平均法是对[时间数列][Link 3]的过去数据一个不漏地全部加以同等利用；移动平均法则不考虑较远期的数据，并在[加权移动平均法][Link 4]中给予近期资料更大的权重；而指数平滑法则兼容了全期平均和移动平均所长，不舍弃过去的数据，但是仅给予逐渐减弱的影响程度，即随着数据的远离，赋予逐渐收敛为零的权数。

也就是说指数平滑法是在[移动平均法][Link 5]基础上发展起来的一种[时间序列分析预测法][Link 6]，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行[预测][Link 2]。其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。

## 指数平滑法的基本公式 ##

指数平滑法的基本公式是：![S\_t=a\\cdot y\_t+(1-a)S\_\{t-1\}][S_t_a_cdot y_t_1-a_S_t-1] 式中，

*  *S**t*\--时间t的平滑值；
 *  *y**t*\--时间t的实际值；
 *  *S**t* − 1--时间t-1的平滑值；
 *  a--平滑常数，其取值范围为\[0,1\]；

由该公式可知：

1.*S**t*是*y**t*和 *S**t* − 1的[加权算数平均数][Link 7]，随着a取值的大小变化，决定*y**t*和 *S**t* − 1对*S**t*的影响程度，当a取1时，*S**t* = *y**t*；当a取0时，*S**t* = *S**t* − 1。

2.*S**t*具有逐期追溯性质，可探源至*S**t* − *t* + 1为止，包括全部数据。其过程中，平滑常数以指数形式递减，故称之为指数平滑法。指数平滑常数取值至关重要。平滑常数决定了平滑水平以及对预测值与实际结果之间差异的响应速度。平滑常数a越接近于1，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越迅速；平滑常数a越接近于 0，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越缓慢。由此，当时间数列相对平稳时，可取较大的a；当时间数列波动较大时，应取较小的a，以不忽略远期实际值的影响。生产预测中，平滑常数的值取决于产品本身和管理者对良好响应率内涵的理解。

3.尽管*S**t*包含有全期数据的影响，但实际计算时，仅需要两个数值，即*y**t*和 *S**t* − 1，再加上一个常数a，这就使指数滑动平均具逐期递推性质，从而给预测带来了极大的方便。

4.根据公式![S\_1=a\\cdot y\_1+(1-a)S\_0][S_1_a_cdot y_1_1-a_S_0]，当欲用指数平滑法时才开始收集数据，则不存在*y*0。无从产生*S*0，自然无法据指数平滑公式求出*S*1，指数平滑法定义*S*1为初始值。初始值的确定也是指数平滑过程的一个重要条件。

如果能够找到y1以前的历史资料，那么，初始值S1的确定是不成问题的。数据较少时可用全期平均、移动平均法；数据较多时，可用[最小二乘法][Link 8]。但不能使用指数平滑法本身确定初始值，因为数据必会枯竭。

如果仅有从y1开始的数据，那么确定初始值的方法有：

1）取S1等于y1；

2）待积累若干数据后，取S1等于前面若干数据的[简单算术平均数][Link 9]，如：S1=（y1+ y2+y3）/3等等。

## 指数平滑的预测公式 ##

据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、[二次指数平滑法][Link 10]和三次指数平滑法等。

### （一） 一次指数平滑预测 ###

当[时间数列][Link 3]无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。其预测公式为： ![y\_\{t+1\}^\\prime = a y\_\{t\} + (1-a) y\_\{t\}^\\prime][y_t_1_prime _ a y_t_ _ _1-a_ y_t_prime]

式中， ![y\_\{t+1\}^\\prime][y_t_1_prime]为*t* + 1期的预测值，即本期（*t*期）的平滑值*S**t*； *y**t*为*t*期的实际值； ![y\_\{t\}^\\prime][y_t_prime]为*t*期的预测值，即上期的平滑值*S**t* − 1 。

该公式又可以写作： ![y\_\{t+1\}^\\prime = y\_\{t\} + a (y^\{t\}-y\_\{t\}^\\prime)][y_t_1_prime _ y_t_ _ a _y_t_-y_t_prime]。可见，下期预测值又是本期预测值与以*a*为折扣的本期实际值与预测值误差之和。

### （二） 二次指数平滑预测 ###

二次指数平滑是对一次指数平滑的再平滑。它适用于具线性趋势的[时间数列][Link 3]。其预测公式为：

yt+m*=(2+am/(1-a))yt'-(1+am/(1-a))yt*=(2yt'-yt*)+m(yt'-yt*) a/(1-a)

式中，yt*= ayt-1'+(1-a)yt-1*

显然，二次指数平滑是一直线方程，其截距为：(2yt'-yt*)，斜率为：(yt'-yt*) a/(1-a),自变量为预测天数。

### （三） 三次指数平滑预测 ###

三次指数平滑预测是二次平滑基础上的再平滑。其预测公式是：

yt+m**=(3yt'-3yt*+yt****)+\[(6-5a)yt'-(10-8a)yt*\+(4-3a)yt**\]\*am/2(1-a)2+** (yt'-2yt*+yt'*)\*a2m2/2(1-a)2

式中，yt**=ayt-1*+(1-a)yt-1***

它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。

## 指数平滑法的趋势调整 ##

一段时间内收集到的数据所呈现的上升或下降趋势将导致指数预测滞后于实际需求。通过趋势调整，添加趋势修正值，可以在一定程度上改进指数平滑预测结果。调整后的指数平滑法的公式为：

包含趋势预测(YITt)=新预测（Yt）+趋势校正（Tt）

进行趋势调整的指数平滑预测有三个步骤：

1、 利用前面介绍的方法计算第t期的简单指数平滑预测（Yt）；

2、 计算趋势。其公式为： Tt=(1-b)Tt-1+b(Yt-Yt-1)其中，

*  Tt=第t期经过平滑的趋势；
 *  Tt-1=第t期上期经过平滑的趋势；
 *  b=选择的趋势平滑系数；
 *  Yt=对第t期简单指数平滑预测；
 *  Yt-1=对第t期上期简单指数平滑预测。

3、计算趋势调整后的指数平滑预测值（YITt）。计算公式为：YITt=Yt+Tt。

## 指数平滑法案例分析 ##

### 案例一:指数平滑法在销售预算中的应用[\[1\]][1] ###

以某软件公司A为例。给出2000-2005年的历史销售资料，将数据代入指数平滑模型。预测2006年的销售额，作为销售预算编制的基础。

由散点图示可知。根据经验判断法。A公司2000-2005年销售额时间序列波动很大。[长期趋势][Link 11]变化幅度较大，呈现明显且迅速的上升趋势，宜选择较大的α值，可在05-O.8间选值，以使预测模型灵敏度高些，结合试算法取0.5，0.6,0.8分别测试。经过第一次指数平滑后，数列呈现直线趋势，故选用二次指数平滑法即可。

试算结果见下表。根据偏差平方的均值(MSE)最小，即各期实际值与预测值差的平方和除以总期数．以最小值来确定合理的取值标准，经测算当α = 0.6时，*M**S**E*1 = *l*445.4；当α = 0.8时，*M**S**E*2=10783.7；当α = 0.5时，*M**S**E*3 = 1906.1。因此选择α = 0.6来预测2006年4个季度的销售额。

[![A公司2000-2005年销售额数列散点图][A_2000-2005]][A_2000-2005_A_2000-2005]

2005年第四季度![S\_t^\{(1)\}][S_t_1]=736.8;![S\_t^\{(2)\}][S_t_2]=679.5;；可以求得![\\alpha\_\{2005\}=2S\_t^\{(1)\}-S\_t^\{(2)\}=2\\times736.8-679.5=794.1][alpha_2005_2S_t_1_-S_t_2_2_times736.8-679.5_794.1]；![b\_\{2005\}=\\alpha(s\_t^\{(1)\}-S\_t^\{(2)\})/(1-\\alpha)=0.6][b_2005_alpha_s_t_1_-S_t_2_1-_alpha_0.6]=(736.8-679.5)/0.4=85.9则预测方*Y*2005 + *T* = 794.1 + 85.9*T*,因此，2006年第一、二、三、四季度的预测值分别为：

[![A公司2000-2005年销售额指数平滑表][A_2000-2005 1]][A_2000-2005_A_2000-2005 1]

*Y*1 = 794.1 + 85.9 = 800(万元)

![Y\_2=794.1+85.9\\times2=965.9][Y_2_794.1_85.9_times2_965.9](万元)

![Y\_3=794.1+85.9\\times3=1051.8][Y_3_794.1_85.9_times3_1051.8](万元)

![Y\_4=794.1+85.9\\times4=1137.7][Y_4_794.1_85.9_times4_1137.7](万元)

综上所述，本案例首先根据销售历史资料，给出数列散点图。再根据散点图的特征选择二次指数平滑法，通过对α的试算，确定符合预测需要的α值，最后根据指数平滑模型计算出2006年14季度的销售预测值，作为销售预算的基础。

指数平滑法是较为有效的销售预算的统计方法。利用Excel可以简便易行地进行预测，节约了预测时间并提高了预测的准确率，预测者可根据数据数列散点图的历史趋势等选择一次或多次指数平滑。但指数平滑法的应用也会受到一定限制。如采用指数平滑法需要有比较完备的历史资料；当企业销售量受季节影响较大时，[时间序列分解法][Link 12]比指数平滑法应用效果更好等。因此，销售预测人员要根据企业的具体情况和预测的对象。把指数平滑法和[定性预测方法][Link 13]正确地结合起来运用。才能全面认识和把握预测对象的未来发展趋势，使的预测结果更加接近客观现实，从而做出实事求是的预测结论。

## 相关条目 ##

*  [简易平均法][Link 14]
 *  [移动平均法][Link 5]
 *  [趋势延伸法][Link 15]
 *  [因果分析法][Link 16]
 *  [直线修匀法][Link 17]

## 参考文献 ##

1.  [↑][Link 18] 张蔚虹.指数平滑法在销售预算中的应用\[J\].中国管理信息化,2008,11(2)

[https_wiki.mbalib.com_wiki_E6_8C_87_E6_95_B0_E5_B9_B3_E6_BB_91_E6_B3_95]: https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%B3%E6%BB%91%E6%B3%95
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[Link 13]: https://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%AE%9A%E6%80%A7%E9%A2%84%E6%B5%8B%E6%96%B9%E6%B3%95
[Link 14]: https://wiki.mbalib.com/wiki/%E7%AE%80%E6%98%93%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%B3%95
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[Link 17]: https://wiki.mbalib.com/wiki/%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%BF%AE%E5%8C%80%E6%B3%95
[Link 18]: https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%B3%E6%BB%91%E6%B3%95#_ref-0