03 系统分类

墨蓝 2021-12-13 03:13 309阅读 0赞

# 系统分类 #

## 线性系统 ##

假设序列\\(x\_1\[n\],x\_2\[n\]\\)通过离散时间系统\\(H\\)的输出为分别为序列\\(y\_1\[n\],y\_2\[n\]\\),即  
\\\[ x\_1\[n\]\\xrightarrow\{H\}y\_1\[n\] \\quad x\_2\[n\]\\xrightarrow\{H\}y\_2\[n\] \\\]

若  
\\\[ ax\_1\[n\]+bx\_2\[n\]\\xrightarrow\{H\}ay\_1\[n\]+by\_2\[n\] \\\]  
那么称离散时间系统\\(H\\)为线性系统。

## 时(移)不变系统 ##

假设序列\\(x\[n\]\\)通过离散时间系统\\(H\\)的输出为分别为序列\\(y\[n\]\\),即  
\\\[ x\[n\]\\xrightarrow\{H\}y\[n\] \\\]  
若  
\\\[ x\[n-n\_0\]\\xrightarrow\{H\}y\[n-n\_0\] \\\]  
那么称离散时间系统\\(H\\)为时(移)不变系统。

如果离散时间系统\\(H\\)既满足线性系统，也满足时不变系统，那么称\\(H\\)为线性时不变`(LTI)`系统。

## 因果系统 ##

因果系统指的是，离散时间系统在\\(n\_0\\)的输出\\(y\[n\_0\]\\)只由\\(n\\leq n\_0\\)的输入\\(x\[n\]\\)决定。

因此，若输入为\\(x\_1\[n\]\\)和\\(x\_2\[n\]\\),因果离散时间系统的响应为\\(y\_1\[n\]\\)和\\(y\_2\[n\]\\),则  
\\\[ x\_1\[n\]=x\_2\[n\], \\quad n < N \\\]  
那么  
\\\[ y\_1\[n\]=y\_2\[n\], \\quad n < N \\\]

## 稳定系统 ##

如果对于任意的有界输入，产生的输出都是有界的，那么就称系统是稳定的。即对于所有的\\(n\\)值，有  
\\\[ \\vert x\[n\]\\vert < B\_x \\\]  
则对于所有的\\(n\\)  
\\\[ \\vert y\[n\]\\vert < B\_y \\\]  
  这类稳定系统称为有界输入有界输出`(BIBO)`稳定系统。

# LTI系统 #

## 输入输出关系 ##

假设该`LTI`系统的单位冲激序列\\(\\delta\[n\]\\)的响应为\\(h\[n\]\\),即  
\\\[ \\delta\[n\]\\xrightarrow\{H\}h\[n\] \\quad or \\quad H\\\{\\delta\[n\]\\\}=h\[n\] \\\]  
对于任意的输入序列\\(x\[n\]\\)可以表示为  
\\\[ x\[n\]=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]\\delta\[n-m\] \\\]  
则序列\\(x\[n\]\\)的响应\\(y\[n\]\\)为  
\\\[ y\[n\]=H\\\{x\[n\]\\\}=H\\\{\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]\\delta\[n-m\]\\\} \\\]  
由于该系统为线性系统，则上式可以写为  
\\\[ y\[n\]=H\\\{\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]\\delta\[n-m\]\\\}=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]H\\\{\\delta\[n-m\]\\\} \\\]  
又由于该系统为时不变系统，那么\\(H\\\{\\delta\[n-m\]\\\}=h\[n-m\]\\),所以上式可以写为  
\\\[ y\[n\]=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n-m\] \\\]  
我们把上式简写为  
\\\[ y\[n\]=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n-m\]=x\[n\]\*h\[n\] \\\]  
称运算\\(\*\\)为卷积运算。

上述表达式说明，若已知`LTI`系统的单位冲激响应\\(h\[n\]\\),那么任意输入序列\\(x\[n\]\\)通过与\\(h\[n\]\\)卷积，即可得到其响应\\(y\[n\]\\)。所以\\(h\[n\]\\)可以用来描述`LTI`系统。

## 用冲激响应表示因果性条件 ##

由输入输出关系  
\\\[ y\[n\]=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n-m\] \\\]  
则\\(n=n\_0\\)处的输出为  
\\\[ y\[n\_0\]=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n\_0-m\]=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{n\_0\}x\[m\]h\[n\_0-m\]+\\sum\_\{m=n\_0+1\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n\_0-m\] \\\]  
由于因果系统的输出\\(y\[n\_0\]\\)只与\\(n\\leq n\_0\\)的输入有关，所以上式的后面一项为\\(0\\),即  
\\\[ \\sum\_\{m=n\_0+1\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n\_0-m\]=0 \\\]  
由于输入的序列\\(x\[n\]\\)是任意的，所以得到  
\\\[ h\[n\_0-m\]=0, 对任意m > n\_0 \\\]  
即得到  
\\\[ h\[n\]=0, n < 0 \\\]

所以对于`LTI`系统，若  
\\\[ h\[n\]=0, n < 0 \\\]  
那么该`LTI`系统是因果的。

## 用冲激响应表示稳定性条件 ##

由输入输出关系  
\\\[ y\[n\]=\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n-m\] \\\]  
得到  
\\\[ \\vert y\[n\]\\vert=\\vert \\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}x\[m\]h\[n-m\]\\vert \\leq \\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}\\vert x\[m\] \\vert \\vert h\[n-m\] \\vert \\\]  
对于有界的输入\\(\\vert x\[n\] \\vert \\leq B\_x\\),得到  
\\\[ \\vert y\[n\] \\vert \\leq B\_x\\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}\\vert h\[n-m\] \\vert \\\]  
所以当  
\\\[ \\sum\_\{m=-\\infty\}^\{\\infty\}\\vert h\[n-m\] \\vert\\xrightarrow\{k=n-m\}\\sum\_\{k=-\\infty\}^\{\\infty\}\\vert h\[k\] \\vert < \\infty \\\]  
\\(\\vert y\[n\] \\vert\\)有界。  
  所以对于`LTI`系统，若  
\\\[ \\sum\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\}\\vert h\[n\] \\vert < \\infty \\\]  
则该系统是稳定的。

转载于:https://www.cnblogs.com/LastKnight/p/10957902.html