最小化曼哈顿距离

今天药忘吃喽~ 2021-12-14 03:32 518阅读 0赞

### 曼哈顿距离 ###

曼哈顿距离和欧式距离一样是一种距离度量标准，不同的是它定义在L1范数下，也即用绝对值来衡量两点之间的距离。在一维空间下，曼哈顿距离定义如下：  
 d ( x , y ) = ∣ x − y ∣ d(x,y)=|x-y| d(x,y)=∣x−y∣  
在二维空间下，曼哈顿距离定义如下：  
 d ( x , y ) = ∣ x 1 − y 1 ∣ + ∣ x 2 − y 2 ∣ d(x,y)=|x\_1-y\_1|+|x\_2-y\_2| d(x,y)=∣x1−y1∣\+∣x2−y2∣  
类似的，我们可以获得在n维空间下的曼哈顿距离定义。

### 最小化一维曼哈顿距离 ###

有了距离定义之后，我们看一个有趣的问题：给定n个一维空间下的点，求使 ∑ ∣ x i − a ∣ \\sum\{|x\_i-a|\} ∑∣xi−a∣最小的点 a a a。针对该问题我们有明确的答案： a a a的取值就是 n n n个点的中位数。在[quora][]上有一个比较浅显易懂的解释：在笔直的公路上种了n颗树，假设我们从中间颗树的位置开始往两个方向走，我们会发现不管往哪个方向走，我们都距离至少n/2颗树越来越远，而距离至多n/2颗树越来越近，所以上述距离总是在变大，从而说明使上述距离最小的点是中位数。下面给出数学证明：  
我们假定使上述距离最小的点可以出现在数轴任意位置，既可以是n个点中的任意一个，也可以不属于n个点，我们分这两张情况讨论：

1.  假设n个点已排序，选择第k个点计算距离，则有  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3l1dGlhbnp1aWppbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
    同理，选择第k+1个点计算距离，则有  
    ![在这里插入图片描述][20190707175527522.png]  
    我们想知道当k逐渐变大时，距离的变化趋势，所以我们将上述两个距离做差  
    ![在这里插入图片描述][20190707175559392.png]  
    由于我们已经将n个点排序，所以 x k − x k + 1 x\_k-x\_\{k+1\} xk−xk\+1始终小于等于0，当k小于等于n/2时，2k-n小于等于0，从而上式大于等于0；当k大于等于n/2时，2k-n大于等于0，从而上式小于等于0。这表明随着k逐渐增大，距离先变小再变大，在k=n/2时取得最小值。具体的，当n=2k为偶数时，上式在k和k+1位置处相等并取得最小值；当n=2k+1为奇数时，上式在k+1位置处取得最小值，此时即是中位数。将奇偶两种情况统一考虑，在k+1也即n/2+1位置处我们可以获得距离最小值。
2.  假设使距离最小的点不是给定的n个点，则最优位置可以是数轴上的任意位置。很显然的，首先可以将n个数确定范围之外的区间都排除掉，也即最优点既不可能小于n个点中的最小值也不可能大于n个点中的最大值。这样剩余需要考虑的最优点就可能是n个点之间的小区间。我们研究一下曼哈顿距离在这段区间上的变化趋势。选择任意一段区间 x k < c 1 < c 2 < x k + 1 x\_k<c\_1<c\_2<x\_\{k+1\} xk<c1<c2<xk\+1，重新计算  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3l1dGlhbnp1aWppbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    从上面的公式我们可以看出，当k小于等于n/2时，距离公式满足 d ( x k ) > d ( c 1 ) > d ( c 2 ) > d ( x k + 1 ) d(x\_k)>d(c\_1)>d(c\_2)>d(x\_\{k+1\}) d(xk)>d(c1)>d(c2)>d(xk\+1)，当k大于等于n/2时， d ( x k ) < d ( c 1 ) < d ( c 2 ) < d ( x k + 1 ) d(x\_k)<d(c\_1)<d(c\_2)<d(x\_\{k+1\}) d(xk)<d(c1)<d(c2)<d(xk\+1)。也即在整个连续空间上距离先减后增。从而当n=2k为偶数时，区间 \[ x n / 2 , x n / 2 + 1 \] \[x\_\{n/2\},x\_\{n/2+1\}\] \[xn/2,xn/2\+1\]之间的任意数均可以取得最小值，当我们取 ( x n / 2 + x n / 2 + 1 ) / 2 (x\_\{n/2\}+x\_\{n/2+1\})/2 (xn/2\+xn/2\+1)/2时即表示中位数；当n=2k+1为奇数时，距离在k+1位置处取得最小值，此时还是中位数。  
    通过对离散和连续两种情况的考虑，我们可以得到结论：使上述公式取最小值的元素为中位数，不过我们可以统一选择排序之后的第n/2+1个元素，奇偶均如此。

### 最小化高维曼哈顿距离 ###

由于在高维曼哈顿距离中只有加法操作，所以我们可以将每个维度分开考虑，在每个维度上分别按照一维的情况求排序后的第n/2+1个元素，然后组合起来即是最小化的高维曼哈顿距离。

### 最小化带权曼哈顿距离 ###

有时我们还会遇到比上面更复杂的情况：每个点除了坐标 x i x\_i xi还都附带一个权重 w i w\_i wi，求使 ∑ w i ∣ x i − a ∣ \\sum\{w\_i|x\_i-a|\} ∑wi∣xi−a∣最小的点 a a a。在此我们也给出推导过程，看看使距离最小的点在什么位置。在上面的证明中我们分离散和连续两种情况考虑，在此我们直接考虑n个点确定的连续区间。假定给n个点已排序，给定点c满足 x k ≤ c < x k + 1 x\_k \\leq c<x\_\{k+1\} xk≤c<xk\+1我们求  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3l1dGlhbnp1aWppbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
通过推导我们发现，影响距离变化的因素只是受制于权重，更确切地说是受制于前半部分权重和与后半部分权重和的差值。当 ∑ i = 1 k w i < ∑ i = k + 1 n w i \\displaystyle \\sum^\{k\}\_\{i=1\}\{w\_i\}< \\sum^\{n\}\_\{i=k+1\}\{w\_i\} i=1∑kwi<i=k\+1∑nwi时， d ( c ) > d ( x k + 1 ) d(c)>d(x\_\{k+1\}) d(c)>d(xk\+1)，此时距离在连续区间上逐渐变小；当 ∑ i = 1 k w i > ∑ i = k + 1 n w i \\displaystyle \\sum^\{k\}\_\{i=1\}\{w\_i\}>\\sum^\{n\}\_\{i=k+1\}\{w\_i\} i=1∑kwi>i=k\+1∑nwi时， d ( c ) < d ( x k + 1 ) d(c)<d(x\_\{k+1\}) d(c)<d(xk\+1)，距离在连续区间上又开始逐渐变大。所以使距离最小的位置k满足 ∑ i = 1 k − 1 w i < ∑ i = k n w i \\displaystyle \\sum^\{k-1\}\_\{i=1\}\{w\_i\}< \\sum^\{n\}\_\{i=k\}\{w\_i\} i=1∑k−1wi<i=k∑nwi并且 ∑ i = 1 k w i ≥ ∑ i = k + 1 n w i \\displaystyle \\sum^\{k\}\_\{i=1\}\{w\_i\} \\geq \\sum^\{n\}\_\{i=k+1\}\{w\_i\} i=1∑kwi≥i=k\+1∑nwi，含义就是前半部分权重和原本小于后半部分权重和，加上下一个位置的权重之后大小关系发生转变的位置。所以针对带权曼哈顿距离，我们需要做的就是将n个点排序，然后累加权重直到左侧权重大于右侧权重停止，此时就是使距离最小的位置。特别地，当n个点的权重均为正，且和为1时，分界点就是累加之后权重之和超过0.5的位置，这个位置被称为带权中位数（详细定义请参考算法导论）。  
可以看出不管曼哈顿距离是否带权重，使距离最小的位置总是和中位数相关。希望上面的推导能有助于大家理解最小化曼哈顿距离。

[quora]: https://www.quora.com/Why-does-the-median-minimize-the-sum-of-absolute-deviations/answer/Michal-Fori%C5%A1ek
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