UVA 12099 The Bookcase(dp)-蒲公英云

UVA 12099 The Bookcase(dp)

叁歲伎倆 2021-12-16 13:45 248阅读 0赞

题意：有N本书，第i本书有一个高度Hi和宽度Wi，现要求构建一个三层的书架，你必须把所有书放在书架上。设三层高度（该层最高的书的高度）之和为h，书架总宽度（即每层总宽度的最大值）为w，要求h×w尽可能小。

思路（抄自紫书）：首先我们可以考虑将所有书按高度从大到小排序。不妨设最高的书在第1层，且第二层的高度大于等于第三层的高度。

则我们可以定义状态d(i,j,k)为当前已经安排了i本书，第二层的宽度为j，第三层的宽度为k时第二层和第三层的高度之和。

为什么不记录第一层的高度？因为最高的书在第一层，即这一层的书永远都不会比它更高了。

为什么不记录第一层的宽度？因为目前三层的书的总宽度为前ii本书的总宽度，所以只要知道了第二、第三层的宽度，就知道了第一层的宽度。

另外，因为这些书已经从大到小排了序，所以，一旦三层都放了书，则书架的总高度就已经确定了。

综上，我们可以得到以下两点：

若只有第一、第二层放了书，则当且仅当往第三层放书ii时，第三层的高度会变为Hi；若只有第一层放了书，则当且仅当第二层放书ii时，第二层的高度会变为Hi。所以我们采用刷表法进行转移。

将书i放在第一层：用d(i,j,k)更新d(i+1,j,k)，因为第一层的高度不变。

将书i放在第二层：用d(i,j,k)+f(j,Hi)更新d(i+1,j+Wi,k)。

将书i放在第三层：用d(i,j,k)+f(k,Hi)更新d(i+1,j,k+Wi)。

其中：f(j,Hi)当且仅当j=0时等于Hi，否则等于0。

注意：由于状态数量很大（70×2100×2100），所以我们必须采用滚动数组进行递推。

LRJ代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 70 + 5;
const int maxw = 30;
const int INF = 1000000000;
struct Book {
  int h, w;
  bool operator < (const Book& rhs) const {
    return h > rhs.h || (h == rhs.h && w > rhs.w);
  }
} books[maxn];
// We sort books in decreasing order of heights and place them one by one
// So level 1's height is book 1's height
// dp[i][j][k] is the minimal total heights of level 2 and 3 when we used i books, level 2 and 3's total widths are j and k,
// level 1's width is (sumw[n] - j - k)
int dp[2][maxn*maxw][maxn*maxw];
int sumw[maxn]; // sum[i] is the sum of widths of first i books. sum[0] = 0.
// increased height if you place a book with height h to a level with width w
// if w == 0, that means the level if empty, so height is increased by h
// otherwise, the height is unchanged because we're adding books in decreasing order of height
inline int f(int w, int h) {
  return w == 0 ? h : 0;
}
inline void update(int& newd, int d) {
  if(newd < 0 || d < newd) newd = d;
}
int main () {
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while(T--) {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
      scanf("%d%d", &books[i].h, &books[i].w);
    sort(books, books+n);
    sumw[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
      sumw[i] = sumw[i-1] + books[i-1].w;
    dp[0][0][0] = 0;
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      // Don't use memset. It's too slow
      for(int j = 0; j <= sumw[i+1]; j++)
        for(int k = 0; k <= sumw[i+1]-j; k++) dp[t^1][j][k] = -1;
      for(int j = 0; j <= sumw[i]; j++)
        for(int k = 0; k <= sumw[i]-j; k++) if(dp[t][j][k] >= 0) {
          update(dp[t^1][j][k], dp[t][j][k]); /// level 1
          update(dp[t^1][j+books[i].w][k], dp[t][j][k] + f(j,books[i].h)); /// level 2
          update(dp[t^1][j][k+books[i].w], dp[t][j][k] + f(k,books[i].h)); /// level 3
        }
      t ^= 1;
    }
    int ans = INF;
    for(int j = 1; j <= sumw[n]; j++) // each level has at least one book
      for(int k = 1; k <= sumw[n]-j; k++) if(dp[t][j][k] >= 0) {
        int w = max(max(j, k), sumw[n]-j-k);
        int h = books[0].h + dp[t][j][k];
        ans = min(ans, w * h);
      }
    printf("%d\n", ans);
  }
  return 0;
}