为什么有负频率，什么是相位谱 —— 关于傅立叶变换的随笔

太过爱你忘了你带给我的痛 2021-12-16 15:47 269阅读 0赞

今天和人谈起了傅立叶变换，被问到为什么有负频率，加上之前也被问到过相位谱是个什么东西，为什么傅立叶变换的结果是复数，等等问题。于是想把相关的概念写下来，供大家参考。还是老样子，这里的叙述只为说明概念，并不严谨。

以 \$ T \$ 为周期的函数 \$ c(t) \$ 可以由 \$ e^\{ik\\omega t\} (k \\in \\mathbb\{Z\}, \\omega=\\frac\{2\\pi\}\{T\}) \$ 函数族展开，即

$$ c(t) = \\sum\_\{k=-\\infty\}^\{+\\infty\} c\_k e^\{ik\\omega t\} $$

而

$$ c\_k = \\frac\{1\}\{T\}\\int\_0^Tc(t)e^\{-ik\\omega t\}dt $$

### 关于正、负频率系数之间的关系 ###

因为 \$e^\{i t\} = cos(t) + i sin(t)\$ ，我们把 \$ c\_k \$ 的计算公式展开为

$$ c\_k = \\frac\{1\}\{T\}\\int\_0^Tc(t)\[cos(-k\\omega t) + i sin(-k\\omega t)\] dt = \\frac\{1\}\{T\}\\int\_0^Tc(t)\[cos(k\\omega t) - i sin(k\\omega t)\] dt$$

同样可以得到

$$ c\_\{-k\} = \\frac\{1\}\{T\}\\int\_0^Tc(t)\[cos(k\\omega t) + i sin(k\\omega t)\] dt $$

对比可知\$ c\_k \$和\$ c\_\{-k\} \$其实是一对共轭复数，我们记 \$ c\_k = a + i b\$ ，则 \$ c\_\{-k\} = a - i b \$。

### 考察 \$ c(t) \$ 展开式中的求和 ###

$$ c(t) = \\sum\_\{k=-\\infty\}^\{+\\infty\} c\_k e^\{ik\\omega t\} = c\_0 + \\sum\_\{k = 1\}^\{+\\infty\}(c\_k e^\{ik\\omega t\} + c\_\{-k\} e^\{-ik\\omega t\})$$

而

$$ c\_k e^\{ik\\omega t\} + c\_\{-k\} e^\{-ik\\omega t\} = (a + i b)(cos(k\\omega t) + i sin(k\\omega t)) + (a - i b)(cos(-k\\omega t) + i sin(-k\\omega t))$$

记 \$ \\theta = k\\omega t\$，则上式整理后可以得到

$$ c\_k e^\{ik\\omega t\} + c\_\{-k\} e^\{-ik\\omega t\} = 2\[a cos(\\theta) - b sin(\\theta) \] $$

不要在意中间是负号，如果当初我们记 \$ c\_k = a - i b\$，这里就是完美的正号了。

于是

$$ c(t) = c\_0 + 2 \\sum\_\{k = 1\}^\{+\\infty\}( a\_k cos(\\theta\_k) - b\_k sin(\\theta\_k) )$$

到这里，你应该明白了，所谓正负频率，不过是因为我们采用了复指数（就是那个 \$ e^\{it\} \$ 表示而产生的结果罢了——要想把\$ cos(t), sin(t) \$表示成一个东西，总要付出些代价的。

好吧，一句话，根本就没有负频率，马甲而已！

### 相位谱 ###

上面我们得到了

$$ c(t) = c\_0 + 2 \\sum\_\{k = 1\}^\{+\\infty\}( a\_k cos(\\theta\_k) - b\_k sin(\\theta\_k) )$$

如果我们取 \$ r\_k = \\sqrt\{a\_k^2 + b\_k^2\}\$，则上式可以整理成

$$c(t) = c\_0 + 2 \\sum\_\{k = 1\}^\{+\\infty\}r\_k( \\frac\{a\_k\}\{r\_k\} cos(\\theta\_k) - \\frac\{b\_k\}\{r\_k\} sin(\\theta\_k) ) = c\_0 + 2 \\sum\_\{k = 1\}^\{+\\infty\}r\_k cos(\\theta\_k + \\phi\_k) $$

其中 \$ \\phi\_k = tan^\{-1\}(\\frac\{b\_k\}\{a\_k\})\$，上式中最后一步是由两角和的余弦公式整理得到的。

如果这时我们把 \$ r\_k \$ 称为振幅谱，把 \$ \\phi\_k \$ 称为相位谱，你还觉得奇怪吗？

转载于:https://www.cnblogs.com/brucebi/p/4403603.html