看懂了采样定理

清疚 2021-12-18 08:13 725阅读 0赞

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# 采样定理为2倍，为何用2.56倍进行采样? #

香农定理中要求采样频率至少为关心最高信号频率的2倍，但为什么工程中经常用2.56倍?本篇文章中有着详细的解答，我想大家看完这篇文章定会对大家有帮助~

香农采样定理是这样描述的：采样频率fs至少为关心的信号最高频率的2倍。采样频率的一半称为奈奎斯特频率。采样频率的一半也称为分析带宽，或简称为带宽。

1.混叠

当采样频率设置不合理时，即采样频率少于2倍的信号频率时，会导致原本的高频信号被采样成低频信号，如下图所示。红色信号是原始的高频信号，但是由于采样频率不满足采样定理的要求，导致实际采样点如图中蓝色实点表示，将这些蓝色点连成曲线，可以明显的看出这是一个低频信号。在图示的时间长度内，红色信号有18个周期，但采样后的蓝色信号只有2个周期。也就是采样后的信号频率成分为原始信号频率成分的1/9。

![采样定理为2倍，为何用2.56倍进行采样?香农定理\_数据\_频率\_课课家教育][2_2.56]

这就是所谓的混叠。对连续信号进行等间隔采样时，如果采样频率不满足采样定理，采样后信号的频率就会发生混叠，即高于奈奎斯特频率的频率成分将被重构成低于奈奎斯特频率的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，也就是高频信号被混叠成了低频信号。

2.抗混叠滤波器

如果信号中没有高于奈奎斯特频率的频率成分，则不存在混叠。但现实世界中的信号很难保证这一点。另一个方面，如果采样频率极高也可以一定程度上避免混叠，但这并不总是实用和可能，因为，最高采样频率受数采设备的限制，同时，当采样频率过高时，会出现大的数据文件。

另外，采样定理只保证了信号不被歪曲为低频信号，但不能保证不受高频信号的干扰，如果传感器输出的信号中含有比所需信号频率还高的频率成分，ADC同样会以所选采样频率加以采样，混入分析带宽之内。

故在采样前，应把比关心信号的最高频率成分以上的频率滤掉，这就需要抗混叠滤波，它是一个低通滤波器。低于奈奎斯特频率的频率通过，移除高于奈奎斯特频率的频率成分，这是理想的滤波器。

实际情况是任何滤波器都不是理想的滤波器，抗混叠滤波器也不例外。滤波器存在滤波陡度，在滤波截止频率(奈奎斯特频率)以上的一些区域还存在混叠的可能性，这个区域对应的带宽的80%以上部分，也就是带宽的80%-100%区域。如下图所示，高于奈奎斯特频率以上的频率成分会关心奈奎斯特频率镜像到带宽的80%-100%区域，形成混叠，而带宽80%以内的区域，是无混叠的。

![高于奈奎斯特频率以上的频率成分会关心奈奎斯特频率镜像到带宽的80%-100%区域，形成混叠，而带宽80%以内的区域，是无混叠的。][80_-100_80]

当按采样定理设置采样频率时，带宽的80%以上频带还可能存在混叠，如下图红框所示区域即遭受了频率混叠的影响。

![当按采样定理设置采样频率时，带宽的80%以上频带还可能存在混叠，如下图红框所示区域即遭受了频率混叠的影响。][80]

3.为什么要用2.56倍

既然采样定理要求的是2倍，那为什么要用2.56倍呢?基于以下两个方面的原因。

要关心的频带内无混叠

为了避免混叠，抗混叠滤波器是绝大多数采系统不可缺少的组成部分。通过上面的讲解，我们已经了解到，带宽80%以上区域仍然存在混叠的可能性。因此，为了确保在感兴趣的带宽内数据无混叠，则采样频率要满足以下要求fs≥2.5fmax

这就使得存在频率混叠的区间位于感兴趣的频宽之外了。如要求100Hz内无混叠，则采样频率应设置成250Hz，带宽为125Hz，带宽的80%为100Hz，因此，存在混叠可能性的带宽80%以上区域已位于感兴趣的频带之外了。当采样频率高于关心的最高频率2.5倍时，关心的频带内已无混叠了。

要方便计算机处理

快速傅立叶变换要求处理的数据块包含的数据点为2^N，而计算机也只能用0和1来存储数据，因此，计算机处理的数据时，如果是2^N会更方便些。我们知道256=2^8，因此，离2.5最近的2.56便成为了一个重要的“优先数”(先借用一下优先数这个概念)。

基于以上两个方面的原因，采样频率从定理中的2倍提高到工程上的2.56倍。也就是说当采样频率高于关心的最高频率的2.56倍时，关心的最高频率以内的带宽是无混叠的。但是要注意，这还是从频率上去定义采样频率的，如果按2.56倍设置采样频率，虽然频率没有混叠，但可能信号的幅值还存在失真。

当关心频率成分时，可以按2.56倍的关系设置采样频率;但如果关心信号的幅值(时域)，那样，采样频率应设置成关心的最高频率的10倍以上，才不会使信号幅值有明显的失真。

你想象一个白色的圆盘，有一条沿着半径的黑线，圆盘以角速度旋转。

你以一定的周期拍照，就是采样。

你拍照的频率恰好为圆盘自转频率两倍的时候，你的照片里黑线的位置，永远是下一张和上一张呈180度，看不出圆盘原来到底是顺时针转的还是逆时针转的。

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