直线与圆

Myth丶恋晨 2021-12-23 04:55 394阅读 0赞

## 前言 ##

> 当涉及直线与圆的相关问题时，考查最多的知识点是其中的\$Rt\\triangle\$。注：其中的\$Rt\\triangle\$指半弦长与半径和弦心距构成的直角三角形。

## 位置关系 ##

*  相离 代数方法判断：\$\\Delta<0\$；几何方法判断：\$d>r\$；
 *  相切 代数方法判断：\$\\Delta=0\$；几何方法判断：\$d=r\$；
 *  相交 代数方法判断：\$\\Delta>0\$；几何方法判断：\$d<r\$；

## 典例剖析 ##

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】直线\$l：kx-2y-3=0\$与圆\$C：(x-1)^2+(y+2)^2=4\$交于\$A\$，\$B\$两点，若\$\\triangle ABC\$的周长为\$4+2\\sqrt\{3\}\$，则实数\$k\$的值为【】

$A.\\cfrac\{3\}\{2\}$ $B.-\\cfrac\{3\}\{2\}$ $C.\\pm\\cfrac\{3\}\{2\}$ $D.\\pm \\cfrac\{1\}\{2\}$

分析：由于圆的半径为\$r=2\$，故由\$\\triangle ABC\$的周长为\$4+2\\sqrt\{3\}\$可得，弦长\$|AB|=2\\sqrt\{3\}\$，则弦心距为\$1\$，

即点\$C\$到直线\$AB\$的距离为\$\\cfrac\{|k\\times 1-2\\times(-2)-3|\}\{\\sqrt\{k^2+4\}\}=1\$，解得\$k=\\cfrac\{3\}\{2\}\$，故选\$A\$。

【试题自我研究】直线\$3x+4y+b=0\$与圆\$C：(x-1)^2+(y+2)^2=4\$交于\$A\$，\$B\$两点，试求\$\\triangle ABC\$的面积最大时的\$b\$=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：由于\$S\_\{\\triangle ABC\}=\\cfrac\{1\}\{2\}absinC=\\cfrac\{1\}\{2\}R^2sinC\$，故当\$C=\\cfrac\{\\pi\}\{2\}\$时，面积最大；

由于\$R=2\$，且此时三角形为等腰直角三角形，故圆心\$(1，-2)\$到直线\$3x+4y+b=0\$的距离为\$\\sqrt\{2\}\$，

即\$\\cfrac\{|3\\times 1+4\\times(-2)+b|\}\{\\sqrt\{3^3+4^2\}\}=\\sqrt\{2\}\$，解得\$b=\\pm 5\\sqrt\{2\}+5\$，

又由于直线和圆必须相交，即\$\\cfrac\{|3\\times 1+4\\times(-2)+b|\}\{\\sqrt\{3^3+4^2\}\}\\leqslant 2\$，将求得的上述\$b\$值代入验证，都满足，

故\$b=5(\\pm \\sqrt\{2\}+1)\$

例2【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设\$m>0\$，直线\$\\sqrt\{2\}(x+y)+1+m=0\$与圆\$x^2+y^2=m\$相切，则\$m\$的值为【】

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

法1：几何法求解，\$d=\\cfrac\{|m+1|\}\{\\sqrt\{2+2\}\}=\\sqrt\{m\}=r\$，解得\$(m-1)^2=0\$，即\$m=1\$，故选\$A\$.

法2：代数方法求解，\$\\Delta=0\$.

例3【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知双曲线\$\\cfrac\{x^2\}\{a^2\}-\\cfrac\{y^2\}\{b^2\}=1(a>0，b>0)\$的离心率为\$\\sqrt\{2\}\$，则它的一条渐近线被圆\$x^2+y^2-6x=0\$截得的弦长为【】

$A.\\cfrac\{3\}\{2\}$ $B.3$ $C.\\cfrac\{3\\sqrt\{2\}\}\{2\}$ $D.3\\sqrt\{2\}$

分析：先有\$e=\\sqrt\{2\}\$，可得\$c=\\sqrt\{2\}a\$，解得\$b=a\$，故设其一条渐近线为\$y=\\cfrac\{b\}\{a\}x=x\$，

又圆\$x^2+y^2-6x=0\$的圆心为\$(3，0)\$，\$r=3\$，故圆心到渐近线的距离\$d=\\cfrac\{3\}\{\\sqrt\{1+1\}\}=\\cfrac\{3\\sqrt\{2\}\}\{2\}\$，

可得截得的弦长为\$2\\sqrt\{r^2-d^2\}=2\\sqrt\{9-\\cfrac\{9\}\{2\}\}=3\\sqrt\{2\}\$，故选\$D\$.

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10976390.html

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