UOJ#449. 【集训队作业2018】喂鸽子

本是古典何须时尚 2021-12-23 15:25 257阅读 0赞

[\#449. 【集训队作业2018】喂鸽子][449. _2018]

DP好题

## 法一：min-max容斥 ##

处理前m个，最快吃饱的鸽子期望的时间

根据期望的定义

考虑每个方案数的概率\*期望次数

枚举前m个用了x个，概率都是(1/m)^x\*Em(x)

而Em(x)表示往前m个扔了x个期望的总共次数，就是x\*n/m

考虑用了x个的方案数

生成函数EGF思想。

而出现一个有k次就会停止。最后一个位置一定会使得一个鸽子饱了。

f\[i\]\[j\]前i个，总共用了j个，没有一个有k次的方案数

g\[i\]\[j\]，。。。。。。。。有一个有k次的方案数

NTT优化转移。

f和1/k!的项乘出来的贡献加到g里去即可。

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O(n^2klog(nk))

## 法二：“有效玉米序列” ##

神仙思路

只考虑“有实质变化”的玉米，即喂给了一个没有饱的鸽子的玉米

还是考虑每个“有效玉米序列”的贡献，就是出现概率\*期望

一个固定的“有效玉米序列”，出现概率和期望都和每次扔玉米时已经饱的鸽子有关系

所以状态多记录上饱的鸽子数量

至于怎样判断一个鸽子饱了

先填“白色”有效玉米，

想让一个鸽子饱了，就钦定之前k-1个白玉米染上色！

所以这个白玉米还是“对未来承诺”，或者对未来预留的trick

状态保留贡献和和概率和即可。是可以转移的。

![1399631-20190609103115861-1404336880.png][]

![1399631-20190609103132623-2124688908.png][]

![1399631-20190609103216782-1598517890.png][]

复杂度：O(n^2k)

#include<bits/stdc++.h>
    #define reg register int
    #define il inline
    #define fi first
    #define se second
    #define mk(a,b) make_pair(a,b)
    #define numb (ch^'0')
    #define pb push_back
    #define solid const auto &
    #define enter cout<<endl
    #define pii pair<int,int>
    using namespace std; typedef long long ll; template<class T>il void rd(T &x){ char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);} template<class T>il void output(T x){
         if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');} template<class T>il void ot(T x){
         if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar('\n');} template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){
         for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');} namespace Modulo{ const int mod=998244353; int ad(int x,int y){
         return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;} void inc(int &x,int y){x=ad(x,y);} int mul(int x,int y){
         return (ll)x*y%mod;} void inc2(int &x,int y){x=mul(x,y);} int qm(int x,int y=mod-2){
         int ret=1;while(y){
         if(y&1) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=1;}return ret;} template<class ...Args>il int ad(const int a,const int b,const Args &...args) {
         return ad(ad(a,b),args...);} template<class ...Args>il int mul(const int a,const int b,const Args &...args) {
         return mul(mul(a,b),args...);} } using namespace Modulo; namespace Miracle{ const int N=50000+5; int f[50*1000+5][55]; int g[N][55]; int jie[N],inv[N]; int iv[N]; int C(int n,int m){ if(n<m||n<0||m<0) return 0; return mul(jie[n],inv[m],inv[n-m]); } int n,k; int main(){ rd(n);rd(k); int lim=n*k; jie[0]=1; iv[1]=1; for(reg i=1;i<=lim;++i) jie[i]=mul(jie[i-1],i); for(reg i=2;i<=n;++i){ iv[i]=mul(mod-mod/i,iv[mod%i]); } inv[lim]=qm(jie[lim]); for(reg i=lim-1;i>=0;--i) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1); g[0][0]=1; for(reg m=0;m<lim;++m){ for(reg c=0;k*c<=m;++c){ int ct=ad(mul(iv[n-c],f[m][c]),mul(iv[n-c],iv[n-c],n,g[m][c])); inc(f[m+1][c],ct); inc(f[m+1][c+1],mul(ct,C(m-k*c,k-1))); ct=mul(g[m][c],iv[n-c]); inc(g[m+1][c],ct); inc(g[m+1][c+1],mul(ct,C(m-k*c,k-1))); } } ll ans=mul(f[lim][n],jie[n]); ot(ans); return 0; } } signed main(){ Miracle::main(); return 0; } /* Author: *Miracle* */

两种方法的共同之处是：

都从统计每个合法方案的出现概率和期望次数统计

考虑“有变化”的玉米

根据需要进行DP设计

第一种方法：是min-max容斥的套路。难点转化为合法的方案数。EGF思想，DP+NTT优化

第二种方法：直接考虑“有效玉米序列”，发现概率只和之前饱的鸽子有关而进行状态设计。

然鹅并不知道一个鸽子饱不饱，所以不能立刻决定当前玉米喂给谁。所以利用“白玉米”，最后统一染色。

转载于:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10992823.html

[449. _2018]: http://uoj.ac/problem/449
[1399631-20190609102729930-874642083.png]: /images/20211223/e8a3004190914306a84043654338d845.png
[1399631-20190609103115861-1404336880.png]: /images/20211223/331daa2623b7449ab904a43a925fbf72.png
[1399631-20190609103132623-2124688908.png]: /images/20211223/d086385971234a308cbdd5d2d591a73b.png
[1399631-20190609103216782-1598517890.png]: /images/20211223/10d2f722ccc54e9fa7c796e3cf575986.png