02数据结构——算法概念

桃扇骨 2021-12-23 15:47 251阅读 0赞

## 2.1 算法定义 ##

**算法是解决待定问题求解`步骤的描述`，在计算机中表现为`指令的有限序列`，并且每条指令表示一个或多个操作。**

## 2.2 算法的特性 ##

**算法有五个基本特性：`输入`、`输出`、`有穷性`、`确定性`和`可行性`。**

*  输入输出  
    **输入和输出特性比较容易理解，算法具有`零个或多个输入`。绝大多数算法需要输入参数，但有的是不需要的，不如“hello world”这样的代码，不需要任何参数，因此算法的`输入可以是零个`。算法至少有`一个或多个输出`，算法是`一定要输出`的，不需要输出，那用这个算法干嘛？输出的形式可以使打印输出，也可以是返回一个或多个值。**
 *  有穷性  
    **有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，`自动结束`而不会出现无限循环，并且每一个步骤在`可接受的时间内`完成。**
 *  确定性：  
    **算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现`二义性`。**

算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果，算法的每个步骤被精确定义而无歧义。

*  可行性：  
    **算法的每一步都必须是`可行的`，也就是说，每一步都能够通过执行`有限次数`完成。**

## 2.3 算法设计的要求 ##

算法不是唯一的，同一个问题，可以有很多种解决问题的算法。好的算法应该具有以下几点要求：

*  正确性：  
    **正确性：算法的`正确性`是指算法至少应该具有`输入`、`输出`和`加工处理无歧义性`、`能正确反映问题`的需求、能够`得到问题的正确答案`。**

**算法的“正确”通常在语法上有很大的差别，大体分为以下四个层次。**

1.  算法程序没有语法错误；
2.  算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果；
3.  算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果；
4.  算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

**一般情况下，我们把层次 3 作为算法是否正确的标准。**

*  可读性：  
    **可读性：算法设计的另一目的是为了便于`阅读、理解和交流`。**

我们写代码的目的，一方面是为了让计算机执行，另一方面是为了便于他人阅读，让人理解和交流，自己将来也可能阅读，如果可读性不好，时间长了自己都不知道写了什么，**可读性是算法好坏的一个很重要的标志**。

*  健壮性  
    **健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。**
 *  时间效率高和存储量低  
    **时间效率指的是`算法的执行时间`，对于同一个问题，如果有多个算法可以解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。存储量需求指的是算法在执行过程中需要的`最大存储空间`，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。设计算法应该尽量满足`时间效率高`和`存储量低的需求`。**

**综上，好的算法，应该具有`正确性`、`可读性`、`健壮性`、`高效性`和`低存储量`的特点。**

## 2.4 函数的渐进增长 ##

*  函数的渐进增长：给定两个函数f(n)与g(n)，如果存在一个整数N，使得对于**所有n>N，f(n)总是比g(n)大**，那么，我们说**f(n)的增长渐进快于g(n)**。

**例子 1：**  
A 算法与 B 算法，A 算法要做 2n+3 次操作；B 算法要做 3n+1 次操作。问哪个执行的更快？

![Image 1][]

由上图可知，当 n = 1，算法 A 效率不如算法 B；当 n = 2 时，两者效率相同；当 n > 2 时，算法A开始优于算法 B了。得出结论，**加法常数可以忽略**。

**例子 2：**

C 算法与 D 算法，C 算法要做 4n+8 次操作；D 算法要做 2 n\*n +1 次操作。问哪个执行的更快？

![Image 1][]

由上图可知，当 n <= 3 时，算法 C 差于算法 D；当 n > 3 时，算法 C 的优势开始越来越优于算法 D 了。得出结论：**与最高次项相乘的常数并不重要**。

## 2.5 算法时间复杂度 ##

*  算法时间复杂度定义  
    **算法时间复杂度：在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模n的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级。算法的时间复杂度，也就是`算法的时间量度`，记作：T(n) = O(f(n))。它表示`随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度`。其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。**

这样用大写 O() 来体系那算法时间复杂度的记法，我们称之为大 O 记法。

一般情况下，随着n的增大，**T(n) 增长最慢的算法为最优算法**。

*  常用的算法时间复杂度
    
      
    
    
     
    
    ![Image 1][]

*  推导大 O 阶方法
    
     *  用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数
     *  在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
     *  如果最高阶项存在且不是 1，则去除与这个项相乘的常数。

**得到的结果就是大 O 阶**。

## 2.6 算法空间复杂度 ##

*  算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))，其中，`n 为问题的规模，f(n) 为语句关于 n 所占存储空间的函数`。

一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入的数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为 O(n)。

通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指`时间复杂度`。

转载于:https://www.cnblogs.com/xinmomoyan/p/10713293.html

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