[2019.2.15]BZOJ4827 [Hnoi2017]礼物

た入场券 2021-12-23 22:41 285阅读 0赞

设第一个串为\\(a\\),第二个串为\\(b\\)。

不妨让我们的所有操作对\\(b\\)进行。

如果我们将\\(b\\)逆时针转动\\(j(0\\le j<n)\\)个单位,那么与\\(a\_i\\)对应的装饰物就是\\(b\_\{i+j\}\\)了。

注:在本文中,数组下标从1开始。对于\\(b\\),当数组下标大于数组长度,我们将其对数组长度取余。

我们对\\(b\\)进行了\\(j(0\\le j<n)\\)次逆时针旋转,增加了\\(c(-m\\le c\\le m)\\)的亮度,设\\(ans\_x\\)表示\\(j=x\\)时的答案,那么

\\(ans\_j=\\sum\_\{i=1\}^n(a\_i-b\_\{i+j\}-c)^2\\)

\\(ans\_j=\\sum\_\{i=1\}^n\[a\_i^2+b\_\{i+j\}^2-2c(a\_i-b\_\{i+j\})-2a\_ib\_\{i+j\}+c^2\]\\)

\\(ans\_j=\\sum\_\{i=1\}^na\_i^2+\\sum\_\{i=1\}^nb\_\{i+j\}^2-2c(\\sum\_\{i=1\}^na\_i-\\sum\_\{i=1\}^nb\_\{i+j\})+ nc^2-2\\sum\_\{i=1\}^na\_ib\_\{i+j\}\\)

\\(ans\_j=\\sum\_\{i=1\}^na\_i^2+\\sum\_\{i=1\}^nb\_i^2-2c(\\sum\_\{i=1\}^na\_i-\\sum\_\{i=1\}^nb\_i)+nc^2-2\\sum\_\{i=1\}^na\_ib\_\{i+j\}\\)

发现只有最后一项与\\(j\\)有关,且该项与\\(c\\)无关。

考虑求\\(\\sum\_\{i=1\}^na\_ib\_\{i+j\}\\)。

我们翻转\\(b\\)。则原式变为

\\(\\sum\_\{i=1\}^na\_ib\_\{n+j-i+1\}\\)

发现上式是卷积的形式。

这样看不明显,但是如果我们认为当\\(i>n\\),\\(a\_i=0\\),那原式等价于

\\(\\sum\_\{i=1\}^\{n+j\}a\_ib\_\{n+j-i+1\}\\)

就很明显了。

所以我们设当\\(j=x\\),原式值为\\(v\_\{n+j\}\\),那么我们可以用\\(FFT\\)求出\\(v\\),由于\\(v\_\{n+j\}\\)越大,\\(ans\_j\\)越小,当\\(0\\le j<n\\)时,\\(n\\le n+j<2n\\),所以原式的最大值为\\(max\_\{i=n\}^\{2n-1\}v\_i\\)。

我们枚举\\(c\\),即可求得其他项的答案,。

时间复杂度\\(O(nm\\log n)\\)

code:

注:方便进行\\(FFT\\),代码中下标从0开始。

code:

#include<bits/stdc++.h> #define VAL(x) (int)(fabs(x.re)/(N*1.0)+0.5) using namespace std; const int INF=2e9; const double pi=acos(-1); struct com{ double re,in; }f[300010],f1[300010],f2[300010],cpy[300010]; com operator+(const com &x,const com &y){ return (com){x.re+y.re,x.in+y.in}; } com operator-(const com &x,const com &y){ return (com){x.re-y.re,x.in-y.in}; } com operator*(const com &x,const com &y){ return (com){x.re*y.re-x.in*y.in,x.re*y.in+x.in*y.re}; } int n,m,N=1,a,b,a1,b1,a2,b2,mx; long long ans=INF; void FFT(com *f,int l,int len,int op){ if(len<2)return; int nl=len>>1,tmp=l-1; for(int i=l;i<l+len;++i)cpy[i]=f[i]; for(int i=l;i<l+nl;++i)f[i]=cpy[++tmp],f[i+nl]=cpy[++tmp]; FFT(f,l,nl,op),FFT(f,l+nl,nl,op); com w=(com){cos(pi/(1.0*nl)),sin(pi/(1.0*nl)*op)},nw=(com){1,0},t; for(int i=l;i<l+nl;++i,nw=nw*w)t=nw*f[i+nl],cpy[i]=f[i]+t,cpy[i+nl]=f[i]-t; for(int i=l;i<l+len;++i)f[i]=cpy[i]; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a),f1[i-1]=(com){a,0},a1+=a,a2+=a*a;//len(f1)=n for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&b),f2[n-i]=f2[n-i+n]=(com){b,0},b1+=b,b2+=b*b;//len(f2)=2n //len(f)=3n-1 while(N<3*n-1)N<<=1; FFT(f1,0,N,1),FFT(f2,0,N,1); for(int i=0;i<N;++i)f[i]=f1[i]*f2[i]; FFT(f,0,N,-1); //f[x]=sum(0<=i<=x)f1[i]*f2[x-i] for(int i=n-1;i<2*n-1;++i)mx=max(mx,VAL(f[i])); for(int i=-m;i<=m;++i)ans=min(ans,1ll*n*i*i+2*i*(a1-b1)); printf("%lld",ans+a2+b2-2*mx); return 0; }

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