自动机与语言

忘是亡心i 2022-01-06 06:55 424阅读 0赞

> 本文主要介绍概念与结论，证明的细节与技巧不是本文所关心的

## 有穷自动机(DFA) ##

![1443026-20190427150008817-425272124.png][]  
**例1.**  
![1443026-20190427150138941-1838143438.png][]  
这是一个有三个状态的有穷自动机M1(双圆圈代表接受状态)，当它接收到输入串，比如，1101，它会依次读入字符并按照转移函数改变状态，最终如果自动机处于接受状态，则输出为接受，否则输出拒绝。对于这个例子以及输入1101，M1最终处于\$q\_2\$因此接受此输入。

### 语言 ###

**语言：**设A是机器M所接受的全部字符串集，则称A为机器M的**语言**，记为\$L(M)=A\$,又称M识别A。  
**正则语言：**被一台有穷自动机识别的语言称为**正则语言**  
**正则运算：**是以下的三种运算  
![1443026-20190427151017095-1161642183.png][]

**定理1.**正则语言类在正则运算下封闭

## 非确定型有穷自动机(NFA) ##

之前的讨论中可以看出，计算的每一步都按照唯一的方式跟在前一步的后面，机器在给定状态下读入一个输入字符时，我们总能知道它下一步将会是什么状态，这是确定型机器。然而在非确定型机器中，下一个状态可能存在若干种选择。  
**例2.**  
![1443026-20190427151829654-1066169674.png][]  
这是一台NFA，其中\$\\epsilon\$是不需要读入输入字符就可能产生一个状态的变化。NFA如何进行计算？当NFA读入一个输入符号后，他将自己分裂成多个备份，并行地执行所有可能性，当下个输入符号不存在于该状态的转移函数中（即不在从状态指出的任何箭头上），那么计算机的这个备份和相关联的计算分支一块死掉。如果机器在某一个备份的末端接受了输入，则这台NFA接受输入。当箭头上有\$\\epsilon\$则不接受输入，直接分裂成多个备份。  
现在可以给出NFA的形式定义  
![1443026-20190427152836031-136894191.png][]

**等价：**如果两台机器识别的语言相同，则称他们等价。  
尽管NFA看起来要比DFA更加强大，但实际上，它们是等价的。  
**定理2.**每一台NFA都与某个DFA等价

## 正则表达式 ##

如同算术表达式是用来描述四则运算的那样，正则表达式是一种用来描述语言的表达式。  
**例3.**  
\$(0 \\cup 1)\*\$代表一个由01字符组成的任意长字符串组成的语言，而\$(0 \\cup 1)\* 0\$则代表所有由0结尾的01串组成的语言。  
正则表达式的形式定义如下：  
![1443026-20190427154013441-112312055.png][]

**更多例子：**  
![1443026-20190427154100023-976599857.png][]

**定理3.**一个语言是正则的，当且仅当它可以由正则表达式描述

## 非正则语言 ##

要理解有穷自动机的能力，就要了解它的局限性。实际上\$B=\\\{0^n 1^n | n>0 \\\}\$是一个非正则的语言。这是因为有穷自动机只能储存有穷个状态，而B中的n是任意的，有限状态机必须拥有能记住无穷种可能性的能力，才能识别B。这里要给出一种方法，用来对于像B这样的语言，证明它是无法被某个DFA识别的。实际上，上面所说其有n个0需要被DFA记住，这并不足以作为证明依据，因为有一些语言看起来需要无穷的存储来识别，但实际上却不需要用到无穷的存储。考虑\$\\sum =\\\{0,1\\\}\$上的两个语言\$C=\\\{\\omega | \\omega 中的0和1相等 \\\}\$和\$D=\\\{\\omega| \\omega 中01和10子串出现的次数相同\\\}\$实际上C是非正则的，但D确是正则语言，尽管它看起来需要无穷的存储来对字串数目进行计数。  
证明的有力工具是下面的**泵引理**  
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泵引理说的是：正则语言中的字符串只要长度不小于某个**泵长度**，就可以被"抽取"，即它包含一个字串，将该字串重复任意多次得到的字符串仍然在这个语言中  
**例4.**我们来用泵引理证明B不是正则语言：  
假设B正则，则其满足泵引理，当\$|\\omega \\in B|>p\$时(p为泵长度)，可以将它分为\$\\omega = xyz\$.若y只包含0，那么y重复后0比1多，当然不会属于B。若y包含0与1，那么重复后01的顺序不再是B所要求的那样0在前1在后了。若y只包含1，同理抽取后的字符串也不在B中。这导出了矛盾。  
**例5.**我们来证明C不是正则语言，此时将会用到泵引理的性质3.  
取s为\$0^p1^p\$,我们来抽取s=xyz，\$|xy|<p\$，那么y一定全由0构成，那么重复后显然不在C中。

## 上下文无关语言 ##

**上下文无关文法**产生式地描述一个语言，一个文法由一组替换规则组成，先给出一个上下文无关语法的例子：  
![1443026-20190427161258941-1131339139.png][]  
文法由一组替换规则组成，每个规则占一行，规则由一个符号和一个字符串组成，符号和字符串之间用箭头隔开。将这个符号称作**变元**，常用大写字母表示。而字符串由变元和终结符组成，终结符常用小写字母，数字和符号表示。第一条规则左边的变元叫做**起始变元**。在上面的例子中，A是起始变元，A,B是变元，0,1,\#是终结符。  
有了文法，就可以按照下面的规则生成语言中的每一个字符串。  
**1)**写下起始变元  
**2)**取一个写下的变元，找到以这个变元开始的规则，把变元替换成右边的字符串  
**3)**重复2直到没有变元存在为止

例子中的文法生成的语言是\{ \$0^n\$ \# \$1^n\$ | $n>0 $\}

上下文无关文法的形式定义如下：  
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## 乔姆斯基范式 ##

乔姆斯基范式是一种简单而有用的上下文无关文法表达规范  
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**定理4.**任意上下文无关语言都可以由乔姆斯基范式的上下文无关文法生成

## 下推自动机(PDA) ##

PDA基本上就是在NFA的基础上增加了一个额外的设备称为栈，于是给NFA提供了附加的存储。  
![1443026-20190427162724864-2023230424.png][]  
PDA能够把符号写在栈上，并可以读以及删除栈顶的符号，当写入一个符号到栈顶，栈里其它符号都会往下推一格。栈可以保存无穷的信息，这使得它可以比NFA更强大。实际上它与上下文无关文法等价。读者可以想一想PDA如何识别NFA所无法识别的语言B  
**定理5.**一个语言是上下文无关的，当且仅当一个PDA识别它  
PDA的形式定义如下  
![1443026-20190427163116707-1816313714.png][]

## 非上下文无关语言 ##

PDA也无法识别所有语言，即非上下文无关语言是存在的。同正则语言一样，上下文无关语言也有一个泵引理，用来证明某些语言不是上下文无关的。  
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转载于:https://www.cnblogs.com/mathematic-offering/p/10771141.html

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