Codeforces Round #554 Div.2 C - Neko does Maths

Bertha 。 2022-01-07 05:19 238阅读 0赞

数论 gcd

看到这个题其实知道应该是和(a+k)(b+k)/gcd(a+k,b+k)有关,但是之后推了半天,思路全无。

然而。。有一个引理:

  • gcd(a, b) = gcd(a, b - a) = gcd(b, b - a) (b > a)

证明一下:

令 gcd(a, b) = c, (b > a)

则有 a % c = 0, b % c = 0

那么 (a - b) % c = 0

令 gcd(a, b - a) = c’, 假设c’ != c

则有 a % c’ = 0, (b - a) % c’ = 0

则 (b % c’ - a % c’) % c’ = 0, 所以 b % c’ - a % c’ = 0

所以 b % c’ = 0

所以可以得出 c = c’, 与假设矛盾, 则 c = c’.

同理可得 gcd(b, a - b) = c

证毕。

然后我们要求最小的k,那就枚举定值b-a的所有约数,看看a和b中小的那个数要凑成含这个约数的最小k是多少, 暴力找最大的lcm.

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. // 9223372036854775807
  3. #define INF 2333333333333333333
  4. #define full(a, b) memset(a, b, sizeof a)
  5. using namespace std;
  6. typedef long long ll;
  7. inline int lowbit(int x){ return x & (-x); }
  8. inline int read(){
  9. int X = 0, w = 0; char ch = 0;
  10. while(!isdigit(ch)) { w |= ch == '-'; ch = getchar(); }
  11. while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
  12. return w ? -X : X;
  13. }
  14. inline ll gcd(ll a, ll b){ return a % b ? gcd(b, a % b) : b; }
  15. inline ll lcm(ll a, ll b){ return a / gcd(a, b) * b; }
  16. template<typename T>
  17. inline T max(T x, T y, T z){ return max(max(x, y), z); }
  18. template<typename T>
  19. inline T min(T x, T y, T z){ return min(min(x, y), z); }
  20. template<typename A, typename B, typename C>
  21. inline A fpow(A x, B p, C lyd){
  22. A ans = 1;
  23. for(; p; p >>= 1, x = 1LL * x * x % lyd)if(p & 1)ans = 1LL * x * ans % lyd;
  24. return ans;
  25. }
  26. int main(){
  27. ll a, b, c;
  28. cin >> a >> b;
  29. if(a > b) swap(a, b);
  30. c = b - a;
  31. int n = (int)(sqrt(c) + 0.5);
  32. vector<int> v;
  33. for(int i = 1; i <= n; i ++){
  34. if(c % i == 0) v.push_back(i), v.push_back(c / i);
  35. }
  36. int k = 0; ll ans = INF;
  37. for(int i = 0; i < v.size(); i ++){
  38. int tmp = 0;
  39. if(a % v[i] != 0) tmp = v[i] - a % v[i];
  40. ll r = lcm(a + tmp, b + tmp);
  41. if(r < ans) ans = r, k = tmp;
  42. }
  43. cout << k << endl;
  44. return 0;
  45. }

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