Password-蒲公英云

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小咪咪 2022-01-07 12:27 286阅读 0赞

题目描述

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E = {E[1],E[2],……,E[n]}，
且E[1] = E[2] = p（p为一个质数），E[i] = E[i-2]*E[i-1] （若2<i<=n）。

例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p = 2的数列。在此基础上他又设计了一种加密算法，该算法可以通过一个密钥q (q < p)将一个正整数n加密成另外一个正整数d，计算公式为：d = E[n] mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密，但他对程序设计不太感兴趣，请你帮助他设计一个数据加密程序。

输入

第一行读入m，p。其中m表示数据个数，p用来生成数列E。以下有m行，每行有2个整数n，q。n为待加密数据，q为密钥。数据范围: 0 < p n< 2^31 0 < q < p 0 < m <= 5000。

输出

将加密后的数据按顺序输出到文件第i行输出第i个加密后的数据。输入样例1 2 7 4 5 4 6 输入样例2 4 7 2 4 7 1 6 5 9 3

考试打了一个快速幂，但斐波那契数列增长很快，最后能存到90项，其实和暴力没什么区别

这题用到了欧拉定理，a^b%p=a^(b%phi(p))%p;(phi(p)是p的欧拉函数)GCD(a,p)==1

扩展欧拉定理a^b%p=a^((b%phi(p))%p+phi(p)) %p;(GCD(a,p)>1)

适用范围不一样，这个一定要特别注意

矩阵快速幂求f的第n项，预处理phi（p），p很大的时候单独求，然后快速幂求ans

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 1000005
using namespace std;
int m,p,n,q,mo;
int phi[maxn+4],prime[maxn];
bool vis[maxn+4];
void pre()
{
     int k=0;
     phi[1]=1;
     for(int i=2;i<=maxn;i++)
     {
        if(vis[i]==0)
        {
          phi[i]=i-1;
          prime[++k]=i;          
        }
       for(int j=1;j<=k;j++)
       {
         if(prime[j]*i>maxn) break;      
         vis[prime[j]*i]=1;
         if(i%prime[j]==0) 
         {
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
            break;
         }
         else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
       }
     }   
}
int getphi(int t)
{
      int kk=t;
      for(int i=2;i*i<=t;i++)
        if(t%i==0)
        {
            kk=kk-kk/i;
            while(t%i==0)
                t/=i;
        }
        if(t>1)
            kk=kk-kk/t;
        return kk;
}
struct mat
{
    long long a[5][5];   
}b,c,f;
void init()
{
     memset(b.a,0,sizeof(b.a));
     memset(c.a,0,sizeof(c.a));
     memset(f.a,0,sizeof(f.a));
     c.a[1][1]=1;c.a[1][2]=1;c.a[2][1]=1;c.a[2][2]=0;
     f.a[1][1]=1;f.a[1][2]=1;
     b.a[1][1]=1;b.a[2][2]=1;
}
mat operator *(mat A,mat B)
{
    mat z={0};
    for(int i=1;i<=2;i++)
     for(int j=1;j<=2;j++)
      for(int k=1;k<=2;k++)
        z.a[i][j]+=(A.a[i][k]%mo*B.a[k][j]%mo)%mo;
    return z;
}
int main()
{
    pre();
    scanf("%d%d",&m,&p);
    long long t,ans=1,mod;
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&q);      
        init();n=n-1;
        if(q<=maxn) mo=phi[q];
        else mo=getphi(q);
        if(n>=2)
        {     
          while(n)
          {
            if(n&1) b=b*c;
            c=c*c;
            n>>=1; 
          }
          f=f*b;
        } 
        t=f.a[1][2]%mo;
        mod=p;ans=1;
        if(t!=0)
          while(t)
          {
           if(t&1) ans=(ans%q*mod)%q;   
           mod=mod%q*mod%q; 
           t>>=1;  
          }
        else ans=1%q;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}