反直觉的「生日悖论」问题

迷南。 2022-01-07 13:51 266阅读 0赞

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作者 | labuladong

来源 | labuladong

生日悖论是由这样一个问题引出的：**一个屋子里需要有多少人，才能使得存在至少两个人生日是同一天的概率达到 50%**？

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答案是 23 个人，也就是说房子里如果有 23 个人，那么就有 50% 的概率会存在两个人生日相同。

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这个结论看起来不可思议，所以被称为悖论。按照直觉，要得到 50% 的概率，起码得有 183 个人吧，因为一年有 365 天呀？其实不是的，觉得这个结论不可思议主要有两个思维误区：

**第一个误区是误解「存在」这个词的含义。**

读者可能认为，如果 23 个人中出现相同生日的概率就能达到 50%，是不是意味着：

假设现在屋子里坐着 22 个人，然后我走进去，那么有 50% 的概率我可以找到一个人和我生日相同？

并不是的，你这种想法是以自我为中心，而题目的概率是在描述整体。也就是说「存在」的含义是指 23 人中的任意两个人，涉及排列组合，大概率和你这个个体没啥关系。

如果你非要计算存在和自己生日相同的人的概率是多少，可以这样计算：

1 - P(22 个人都和我的生日不同) = 1 -(364/365)^22 = 0.06

这样计算得到的结果是不是看起来合理多了？生日悖论计算的对象不是某一个人，而是一个整体，其中包含了所有人的排列组合，它们的概率之和当然会大得多。

**第二个误区是认为概率是线性变化的。**

读者可能认为，如果 23 个人中出现相同生日的概率就能达到 50%，是不是意味着 46 个人的概率就能达到 100%？

不是的，就像中奖率 50% 的游戏，你玩两次的中奖率就是 100% 吗？显然不是，你玩两次的中奖率是 75%：

*P*(两次能中奖)=*P*(第一次就中了)\+*P*(第一次没中但第二次中了)=1/2\+1/2∗1/2=75%

那么换到生日悖论也是一个道理，概率不是简单叠加，而要考虑一个连续的过程。所以 23 个人能达到 50% 的概率并没有什么不合常理之处。

那为什么只要 23 个人出现相同生日的概率就能大于 50% 了呢？我们先计算 23 个人生日都唯一（不重复）的概率。只有 1 个人的时候，生日唯一的概率是 365/365，2 个人时，生日唯一的概率是 365/365×364/365，以此类推，可知 23 人的生日都唯一的概率：

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算出来大约是 0.493，所以存在相同生日的概率就是 0.507，差不多就是 50% 了。

实际上，按照这个算法，当人数达到 70 时，存在两个人生日相同的概率就上升到了 99.9%，基本可以认为是 100% 了。

所以从概率上说，一个几十人的小团体中存在生日相同的人真没啥稀奇的。

如你对这种反直觉的问题还感兴趣的话，可以看看小吴之前的那篇文章：[神奇的三门问题][Link 1]。

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