【洛谷4719】动态dp（树链剖分，dp，矩阵乘法）

淡淡的烟草味﹌ 2022-01-09 07:21 251阅读 0赞

## 前言 ##

其实我只是为了过掉模板而写的ddp，实际应用被吊着锤

## Solution ##

并不想写详细的过程

**一句话过程：将子树中轻儿子的贡献挂到这个点上面来**

详细版：（引用yyb）

> 总结一下的话，大致的过程是这样子的：首先我们考虑我们的转移方程，发现能够将其改写为矩乘的形式，那么我们首先将转移改为矩乘。我们把轻链和重链的转移分开考虑。这样子想，我们的重链被我们单独拎了出来，每个重链上都挂上了若干轻儿子，显然轻儿子对于重链上的独立集的选择是没有影响的，换而言之，如果轻儿子的贡献考虑完之后，那么等价于链上每个点选或者不选有一个权值，求最大独立集。而对于链上的这个东西，是可以直接用线段数维护矩阵支持修改和查询的，那么这题就只需要这么做就好了。即只修改这个点到达根节点上的所有轻链对于父亲的贡献，对于重儿子的贡献先暂时不考虑，每次线段树查询矩阵乘积即可求解出每个点的矩阵，就可以快速求解答案了

## 代码实现 ##

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<queue> #include<set> #include<map> #include<iostream> using namespace std; #define ll long long #define re register #define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout) inline int gi(){ int f=1,sum=0;char ch=getchar(); while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();} return f*sum; } const int N=100010; const ll Inf=1e18+10; int a[N],front[N],nxt[N<<1],to[N<<1],cnt,n,m,dep[N],son[N],siz[N],fa[N],top[N],dfn[N],Time,id[N],bot[N]; void Add(int u,int v){ to[++cnt]=v;nxt[cnt]=front[u];front[u]=cnt; } struct matrix{ ll a[2][2]; ll*operator [](int x){return a[x];}; matrix operator*(matrix b)const{ matrix c; for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++){ c[i][j]=0; for(int k=0;k<2;k++) c[i][j]=max(c[i][j],a[i][k]+b[k][j]); } return c; } }t[N<<2],tmp[N]; void dfs1(int u,int f){ dep[u]=dep[f]+1;siz[u]=1;fa[u]=f; for(int i=front[u];i;i=nxt[i]){ int v=to[i]; if(v==f)continue; dfs1(v,u); siz[u]+=siz[v];if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v; } } void dfs2(int u,int tp){ top[u]=tp;dfn[u]=++Time;id[Time]=u; if(son[u]){dfs2(son[u],tp),bot[u]=bot[son[u]];} else bot[u]=u; for(int i=front[u];i;i=nxt[i]){ int v=to[i]; if(v==fa[u] || v==son[u])continue; dfs2(v,v); } } ll f[N][2]; void dp(int u){ f[u][1]=a[u]; for(int i=front[u];i;i=nxt[i]){ int v=to[i]; if(v==fa[u])continue; dp(v); f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0]); f[u][1]+=f[v][0]; } } void build(int o,int l,int r){ if(l==r){ int u=id[l];int g0=0,g1=a[u]; for(int i=front[u];i;i=nxt[i]){ int v=to[i]; if(v==fa[u] || v==son[u])continue; g0+=max(f[v][1],f[v][0]);g1+=f[v][0]; } tmp[l]=t[o]=(matrix){g0,g0,g1,-Inf}; return; } int mid=(l+r)>>1; build(o<<1,l,mid);build(o<<1|1,mid+1,r); t[o]=t[o<<1]*t[o<<1|1]; } //------------以上是dp+树剖----------------------------------------------- void Modify(int o,int l,int r,int p){ if(l==r){t[o]=tmp[l];return;} int mid=(l+r)>>1; if(p<=mid)Modify(o<<1,l,mid,p); else Modify(o<<1|1,mid+1,r,p); t[o]=t[o<<1]*t[o<<1|1]; } matrix query(int o,int l,int r,int posl,int posr){ if(posl==l && posr==r)return t[o]; int mid=(l+r)>>1; if(mid>=posr)return query(o<<1,l,mid,posl,posr); else if(mid<posl)return query(o<<1|1,mid+1,r,posl,posr); return query(o<<1,l,mid,posl,mid)*query(o<<1|1,mid+1,r,mid+1,posr); } matrix ask(int x){return query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[bot[x]]);} void Modify(int u,int w){ tmp[dfn[u]][1][0]+=w-a[u];a[u]=w; while(u){ matrix a=ask(top[u]);Modify(1,1,n,dfn[u]); matrix b=ask(top[u]); u=fa[top[u]];if(!u)break; tmp[dfn[u]][0][1]=(tmp[dfn[u]][0][0]+=max(b[0][0],b[1][0])-max(a[0][0],a[1][0])); tmp[dfn[u]][1][0]+=b[0][0]-a[0][0]; } } int main(){ n=gi();m=gi(); for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=gi(); for(int i=1;i<n;i++){int u=gi(),v=gi();Add(u,v);Add(v,u);} dfs1(1,0);dfs2(1,1);dp(1);build(1,1,n); matrix t; while(m--){ int u=gi(),x=gi(); Modify(u,x); t=ask(1); printf("%lld\n",max(t[0][0],t[1][0])); } return 0; }

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