算法之时间复杂度计算法

谁践踏了优雅 2022-01-19 00:07 269阅读 0赞

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，基座T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进算法时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

一般用大写O()来表示算法的时间复杂度写法，通常叫做大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

O(1)：常数阶

O(n)：线性阶

O(n2)：平方阶

大O推导法：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数 在修改后的运行函数中，只保留最高阶项 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

常数阶：

int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行一次*/
    printf("%d",sum);            /*执行一次*/
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这个算法的运行次数f(n) = 3,根据推导大O阶的方法，第一步是将3改为1，在保留最高阶项是，它没有最高阶项，因此这个算法的时间复杂度为O(1);

另外，

int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第1次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第2次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第3次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第4次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第5次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第6次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第7次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第8次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第9次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第10次*/
    printf("%d",sum);            /*执行一次*/
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上面的两段代码中，其实无论n有多少个，本质是是3次和12次的执行差异。这种与问题的大小无关，执行时间恒定的算法，成为具有O(1)的时间复杂度，又叫做常数阶。 注意：不管这个常数是多少，3或12，都不能写成O(3)、O(12)，而都要写成O(1) 此外，对于分支结构而言，无论真假执行的次数都是恒定不变的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

线性阶：

线性阶的循环结构会复杂一些，要确定某个算法的阶次，需要确定特定语句或某个语句集运行的次数。因此要分析算法的复杂度，关键是要分析循环结构的运行情况。

int i;
    for(i = 0 ; i < n ; i++){
      /*时间复杂度为O(1)的程序*/      
    }
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对数阶：

int count = 1;
    while(count < n){
      count = count * 2;
      /*时间复杂度为O(1)的程序*/    
    }
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因为每次count\*2后，距离结束循环更近了。也就是说有多少个2 相乘后大于n，退出循环。 数学公式：2x = n --> x = log2n 因此这个循环的时间复杂度为O(logn) 平方阶：

int i;
    for(i = 0 ; i < n ; i++){
       for(j = 0 ; j < n ; j++){
        /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
        }    
    }
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上面的程序中，对于对于内层循环，它的时间复杂度为O(n)，但是它是包含在外层循环中，再循环n次，因此这段代码的时间复杂度为O(n2)。

int i;
    for(i = 0 ; i < n ; i++){
       for(j = 0 ; j < m ; j++){
        /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
        }    
    }
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但是，如果内层循环改成了m次，时间复杂度就为O(n\*m) 再来看一段程序：

int i;
    for(i = 0 ; i < n ; i++){
       for(j = i ; j < n ; j++){
        /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
        }    
    }
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注意：上面的内层循环j = i ;而不是0

因为i = 0时，内层循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次……当i=n-1时，执行了1次，所以总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2 = n2/2 + n/2

根据大O推导方法，保留最高阶项，n2/2 ，然后去掉这个项相乘的常数，1/2

因此，这段代码的时间复杂度为O(n2)

下面，分析调用函数时的时间复杂度计算方法：

首先，看一段代码：

int i,j;
    
    void function(int count){
      print(count);  
    }
    
    for(i = 0 ; i < n ; i++){
      function (i)  
    }
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函数的时间复杂度是O(1)，因此整体的时间复杂度为O(n)。

假如function是这样的：

void function(int count)\{ int j; for(j = count ; j < n ;j++)\{ /*时间复杂度为O(1)的程序*/ \} \}

和第一个的不同之处在于把嵌套内循环放到了函数中，因此最终的时间复杂度为O(n2)

再来看一个比价复杂的语句:

n++;                                      /*执行次数为1*/
    function(n);                              /*执行次数为n*/
    int i,j;
    for(i = 0 ; i < n ; i++){                 /*执行次数为nXn*/
      function(i);  
    }
    for(i = 0 ; i < n ; i++){                /*执行次数为n(n+1)/2*/
      for(j = i ; j < n ; j++){
          /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
      }  
    }    
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它的执行次数f(n) = 1 + n + n2 + n(n+1)/2 + 3/2n2+3/2 n+1, 根据推导大O阶的方法，最终它的时间复杂度为：O(n2) 常见的时间复杂度：

结论： 时间复杂度所耗费的时间是： O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) <O(2n) < O(n!) <O(nn)

转载于:https://juejin.im/post/5cb177576fb9a068a54c93e9