背包问题01

左手的ㄟ右手 2022-01-29 11:34 353阅读 0赞

## 题目 ##

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c\[i\]，价值是w\[i\]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

**基本思路**

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f\[i\]\[v\]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

**f\[i\]\[v\]=max\{f\[i-1\]\[v\],f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]+w\[i\]\}**

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“**将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f\[i-1\]\[v\]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c\[i\]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]再加上通过放入第i件物品获得的价值w\[i\]**。

**优化空间复杂度**

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N\*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1…N，每次算出来二维数组f\[i\]\[0…V\]的所有值。那么，如果只用一个数组f\[0…V\]，能不能保证第i次循环结束后f\[v\]中表示的就是我们定义的状态f\[i\]\[v\]呢？f\[i\]\[v\]是由f\[i-1\]\[v\]和f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]两个子问题递推而来，能否保证在推f\[i\]\[v\]时（也即在第i次主循环中推f\[v\]时）能够得到f\[i-1\]\[v\]和f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V…0的顺序推f\[v\]，这样才能保证推f\[v\]时f\[v-c\[i\]\]保存的是状态f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]的值。伪代码如下：

for i=1..N
    
        forv=V..0
           f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f\[v\]=max\{f\[v\],f\[v-c\[i\]\]\}一句恰就相当于我们的转移方程f\[i\]\[v\]=max\{f\[i-1\]\[v\],f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]\}，因为现在的f\[v-c\[i\]\]就相当于原来的f\[i-1\]\[v-c\[i\]\]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f\[i\]\[v\]由f\[i\]\[v-c\[i\]\]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight)
    
        forv=V..cost
    
           f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V…0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f\[0…cost-1\]，这是显然的。

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i=1..N
    
        ZeroOnePack(c[i],w[i]);

#### 初始化的细节问题 ####

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f\[0\]为0其它f\[1…V\]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f\[N\]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f\[0…V\]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

小结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。