JS 中的 number 为何很怪异

- 日理万妓 2022-01-31 16:47 116阅读 0赞

对于 JavaScript 开发者来说，或多或少都遇到过 `js` 在处理数字上的奇怪现象，比如：

1.  `> 0.1 + 0.2`
2.  `0.30000000000000004`
3.   
4.  `> 0.1 + 1 - 1`
5.  `0.10000000000000009`
6.   
7.  `> 0.1 * 0.2`
8.  `0.020000000000000004`
9.   
10. `> Math.pow(2, 53)`
11. `9007199254740992`
12.  
13. `> Math.pow(2, 53) + 1`
14. `9007199254740992`
15.  
16. `> Math.pow(2, 53) + 3`
17. `9007199254740996`

如果想要弄明白为什么会出现这些奇怪现象，首先要弄清楚 JavaScript 是怎样编码数字的。

1. JavaScript 是怎样编码数字的

JavaScript 中的数字，不管是整数、小数、分数，还是正数、负数，全部是浮点数，都是用 8 个字节（64 位）来存储的。

一个数字（如 `12`、 `0.12`、 `-999`）在内存中占用 8 个字节（64 位），存储方式如下：

1.  `0-51`：分数部分（52 位）
2.  `52-62`：指数部分（11 位）
3.  `63`：符号位（1 位：0 表示这个数是正数，1 表示这个数是负数）

符号位很好理解，用于指明是正数还是负数，且只有 1 位、两种情况（0 表示正数，1 表示负数）。

其他两部分是分数部分和指数部分，用于计算一个数的绝对值。

1.1 绝对值计算公式

1: abs = 1.f * 2 ^ (e - 1023)             0 < e < 2047
    2: abs = 0.f * 2 ^ (e - 1022)             e = 0, f > 0
    3: abs = 0                                e = 0, f = 0
    4: abs = NaN                              e = 2047, f > 0
    5: abs = ∞ (infinity, 无穷大)              e = 2047, f = 0

说明：

*  这个公式是二进制的算法公式，结果用 `abs` 表示，分数部分用 `f` 表示，指数部分用 `e` 表示
 *  `2^(e-1023)` 表示 `2` 的 `e-1023` 次方
 *  因为分数部分占 52 位，所以 `f` 的取值范围为 `00...00`（中间省略 48 个 0） 到 `11...11`（中间省略 48 个 1）
 *  因为指数部分占 11 位，所以 `e` 的取值范围为 `0`（ `00000000000`） 到 `2047`（ `11111111111`）

从上面的公式可以看出：

*  `1` 的存储方式： `1.00*2^(1023-1023)`（ `f=0000...,e=1023`， `...` 表示 48 个 0）
 *  `2` 的存储方式： `1.00*2^(1024-1023)`（ `f=0000...,e=1024`， `...` 表示 48 个 0）
 *  `9` 的存储方式： `1.01*2^(1025-1023)`（ `f=0100...,e=1025`， `...` 表示 48 个 0）
 *  `0.5` 的存储方式： `1.00*2^(1022-1023)`（ `f=0000...,e=1022`， `...` 表示 48 个 0）
 *  `0.625` 的存储方式： `1.01*2^(1021-1023)`（ `f=0100...,e=1021`， `...` 表示 48 个 0）

1.2 绝对值的取值范围与边界

从上面的公式可以看出：

**1.2.1 `0<e<2047`**

当 `0<e<2047` 时，取值范围为： `f=0,e=1` 到 `f=11...11,e=2046`（中间省略 48 个 1）

即： `Math.pow(2,-1022)` 到 `~=Math.pow(2,1024)-1`（ `～=` 表示约等于）

这当中， `~=Math.pow(2,1024)-1` 就是 `Number.MAX_VALUE` 的值， `js` 所能表示的最大数值。

**1.2.2 `e=0,f>0`**

当 `e=0,f>0` 时，取值范围为： `f=00...01,e=0`（中间省略 48 个 0） 到 `f=11...11,e=0`（中间省略 48 个 1）

即： `Math.pow(2,-1074)` 到 `~=Math.pow(2,-1022)`（ `～=` 表示约等于）

这当中， `Math.pow(2,-1074)` 就是 `Number.MIN_VALUE` 的值， `js` 所能表示的最小数值（绝对值）。

**1.2.3 `e=0,f=0`**

这只表示一个值 `0`，但加上符号位，所以有 `+0` 与 `-0`。

但在运算中：

> +0 === -0
    true

**1.2.4 `e=2047,f>0`**

这只表示一种值 `NaN`。

但在运算中：

1.  `> NaN == NaN`
2.  `false`
3.   
4.  `> NaN === NaN`
5.  `false`

**1.2.5 `e=2047,f=0`**

这只表示一个值 `∞` (infinity, 无穷大)。

在运算中：

1.  `> Infinity === Infinity`
2.  `true`
3.   
4.  `> -Infinity === -Infinity`
5.  `true`

1.3 绝对值的最大安全值

从上面可以看出，8 个字节能存储的最大数值是 `Number.MAX_VALUE` 的值，也就是 `~=Math.pow(2,1024)-1`。

但这个数值并不安全：从 `1` 到 `Number.MAX_VALUE` 中间的数字并不连续，而是离散的。

比如： `Number.MAX_VALUE-1`, `Number.MAX_VALUE-2` 等数值都无法用公式得出，就存储不了。

所以这里引出了最大安全值 `Number.MAX_SAFE_INTEGER`，也就是从 `1` 到 `Number.MAX_SAFE_INTEGER` 中间的数字都是连续的，处在这个范围内的数值计算都是安全的。

当 `f=11...11,e=1075`（中间省略 48 个 1）时，取得这个值 `111...11`（中间省略 48 个 1），即 `Math.pow(2,53)-1`。

大于 `Number.MAX_SAFE_INTEGER：Math.pow(2,53)-1` 的数值都是离散的。

比如： `Math.pow(2,53)+1`, `Math.pow(2,53)+3` 不能用公式得出，无法存储在内存中。

所以才会有文章开头的现象：

1.  `> Math.pow(2, 53)`
2.  `9007199254740992`
3.   
4.  `> Math.pow(2, 53) + 1`
5.  `9007199254740992`
6.   
7.  `> Math.pow(2, 53) + 3`
8.  `9007199254740996`

因为 `Math.pow(2,53)+1` 不能用公式得出，就无法存储在内存中，所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数， `Math.pow(2,53)`，然后存储在内存中，这就是失真，即不安全。

1.4 小数的存储方式与计算

小数中，除了满足 `m/(2^n)`（ `m,n` 都是整数）的小数可以用完整的 2 进制表示之外，其他的都不能用完整的 2 进制表示，只能无限的逼近一个 2 进制小数（注： `[2]` 表示二进制， `^` 表示 N 次方）。

0.5 = 1 / 2 = [2]0.1
    0.875 = 7 / 8 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 = [2]0.111

1.  `# 0.3 的逼近`
2.   
3.  `0.25 ([2]0.01) < 0.3 < 0.5 ([2]0.10)`
4.   
5.  `0.296875 ([2]0.0100110) < 0.3 < 0.3046875 ([2]0.0100111)`
6.   
7.  `0.2998046875 ([2]0.01001100110) < 0.3 < 0.30029296875 ([2]0.01001100111)`
8.   
9.  `... 根据公式计算，直到把分数部分的 52 位填满，然后取最靠近的数`
10.  
11. `0.3 的存储方式：[2]0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011`
12.  
13. `(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110011, e = 1021)`

从上面可以看出，小数中大部分都只是近似值，只有少部分是真实值，所以只有这少部分的值（满足 `m/(2^n)` 的小数）可以直接比较大小，其他的都不能直接比较。

1.  `> 0.5 + 0.125 === 0.625`
2.  `true`
3.   
4.  `> 0.1 + 0.2 === 0.3`
5.  `false`

为了安全的比较两个小数，引入 `Number.EPSILON[Math.pow(2,-52)]` 来比较浮点数。

> Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON
    true

1.5 小数最大保留位数

`js` 从内存中读取一个数时，最大保留 `17` 位有效数字。

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011
    0.30000000000000000
    0.3

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110010
    0.29999999999999993

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
    0.30000000000000004

> 0.0000010100011110101110000101000111101011100001010001111100
    0.020000000000000004

2. Number 对象中的常量

2.1 Number.EPSILON

表示 1 与 Number 可表示的大于 1 的最小的浮点数之间的差值。

Math.pow(2, -52)

用于浮点数之间安全的比较大小。

2.2 Number.MAXSAFEINTEGER

绝对值的最大安全值。

Math.pow(2, 53) - 1

2.3 Number.MAX\_VALUE

`js` 所能表示的最大数值（8 个字节能存储的最大数值）。

~= Math.pow(2, 1024) - 1

2.4 Number.MINSAFEINTEGER

最小安全值（包括符号）。

-(Math.pow(2, 53) - 1)

2.5 Number.MIN\_VALUE

`js` 所能表示的最小数值（绝对值）。

Math.pow(2, -1074)

2.6 Number.NEGATIVE\_INFINITY

负无穷大。

-Infinity

2.7 Number.POSITIVE\_INFINITY

正无穷大。

+Infinity

2.8 Number.NaN

非数字。

3. 寻找奇怪现象的原因

3.1 为什么 `0.1+0.2` 结果是 `0.30000000000000004`

与 `0.3` 的逼近算法类似。

1.  `0.1 的存储方式：[2]0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010`
2.   
3.  `(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1019)`
4.   
5.  `0.2 的存储方式：[2]0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010`
6.   
7.  `(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1020)`

1.  `0.1 + 0.2: 0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111`
2.   
3.  `(f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111, e = 1021)`

但 `f=00110011001100110011001100110011001100110011001100111` 有 53 位，超过了正常的 52 位，无法存储，所以取最近的数：

1.  `0.1 + 0.2: 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100`
2.   
3.  `(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110100, e = 1021)`

`js` 读取这个数字为 `0.30000000000000004`

3.2 为什么 `Math.pow(2,53)+1` 结果是 `Math.pow(2,53)`

因为 `Math.pow(2,53)+1` 不能用公式得出，无法存储在内存中，所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数。

比这个数小的、最靠近的数：

1.  `Math.pow(2, 53)`
2.   
3.  `(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000000, e = 1076)`

比这个数大的、最靠近的数：

1.  `Math.pow(2, 53) + 2`
2.   
3.  `(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000001, e = 1076)`

取第一个数： `Math.pow(2,53)`。

所以：

> Math.pow(2, 53) + 1 === Math.pow(2, 53)
    true