五分钟小知识：什么是匈牙利算法

灰太狼 2022-02-01 18:49 404阅读 0赞

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### 1 二分图 ###

**二分图：**又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边*所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i∈A, j∈B)，则称图G为一个二分图。*

简单来说，如果图中所有顶点可以被分为两个集合，图中所有的边的头和尾不属于同一个顶点集合，而是跨越两个集合，则这个图是一个二分图。

例如：图1.1所示的图，无论如何划分顶点集合，也不能保证所有边的头和尾隶属于不同集合，因此，图1.1所示的图不是二分图。

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png] 图1.1

例如：图1.2所示的无向图：

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 1] 图1.2

将顶点a，b，c，d作为集合A，将e，f，g，h作为集合B，将图1.2转化为图1.3所示：

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 2] 图1.3

可以看出，图中顶点可以划分为A，B两个集合，而任意一条边的头和尾又分别隶属于集合A和集合B，因此，此图为二分图。

### 2 匹配 ###

**匹配：**在图论中，一个匹配（matching）是指一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。  
例如：图2.1中红色的边，可以为图1.3所示图的一个匹配。

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 3] 图2.1

### 3 最大匹配 ###

**最大匹配：**一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 3.1是一个最大匹配，它包含4条匹配边。

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 4] 图3.1

### 4 完美匹配 ###

**完美匹配：**如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突），但并非每个图都存在完美匹配。

### 5 交替路径 ###

**交替路径：**从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径称为交替路径。

### 6 增广路径 ###

**增广路径：**从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。

**增广路径性质：**  
    （1）P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配。  
    （2）P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。  
    （3）M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

### 7 匈牙利算法 ###

**匈牙利算法：**利用增广路径求二分图的最大匹配算法称作匈牙利算法。（匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。  
**基本思想：**通过寻找增广路径，把增广路径中的匹配边和非匹配边的相互交换，这样就会多出一条匹配边，直到找不到增广路径为止。

例如：以图2.1所示的二分图为例，使用匈牙利算法求解图的最大匹配。  
（1）从顶点a出发，按照交替路径前进，第一个非匹配边为，到达顶点e，e为非匹配点，构成增广路径。令为匹配边，顶点a，e为匹配顶点。

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 5]  
（2）从顶点b出发，第一非匹配边为 **，到达顶点e，选择匹配边，到达a，选择非匹配边，g为非匹配点，找到一条增广路径。**  
**![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 6]**  
**（3）交换增广路径中的匹配边与非匹配边，得到如下匹配。**  
**![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 7]**  
**（4）从顶点c出发，第一非匹配边为，到达顶点e，然后按照交替路径前进，到达顶点b，无法继续前进。**  
**![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 8]**  
**（5）从顶点c出发，选择第二条非匹配边。**  
**![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 9]**  
**（6）从顶点d出发，选择非匹配边，到达顶点g，选择匹配边，到达顶点a，选择非匹配边到达顶点e，选择匹配边，到达顶部b，没有可以选择的边，且没有找到增广路径。**  
**![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 10]**  
**（7）继续从顶点d出发，选择非匹配边，找到增广路径，将边变为匹配边，算法结束。**  
**![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 11]**

### **8 结语** ###

**匈牙利算法多用于指派问题中，例如任务匹配问题。通过转化为二分图的形式，求解最大匹配，保证实现最优分配。**

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