子域，代数闭域，代数闭包

以你之姓@ 2022-02-21 01:18 752阅读 0赞

转载自：

[https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%90%E5%9F%9F/5873902?fr=aladdin][https_baike.baidu.com_item_E5_AD_90_E5_9F_9F_5873902_fr_aladdin]

[https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%97%AD%E5%9F%9F/8960951?fr=aladdin][https_baike.baidu.com_item_E4_BB_A3_E6_95_B0_E9_97_AD_E5_9F_9F_8960951_fr_aladdin]

[https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%97%AD%E5%8C%85/18917783][https_baike.baidu.com_item_E4_BB_A3_E6_95_B0_E9_97_AD_E5_8C_85_18917783]

# 子域 #

设F是域P的非空子集，如果P的加法和乘法可看作F的加法和乖法，且对于这两个代数运算，F也构成一个域，则称F为P的一个子域或子体。例如，有理数域是[实数域][Link 1]的一个子域， 而实数域又是复数域的一个子域。

## 定义 ##

设

![2fdda3cc7cd98d1037c7006c2a3fb80e7bec905f.jpg][]

是一个域，K是F的一个非空子集，如果

![908fa0ec08fa513d1b12b082366d55fbb2fbd936.jpg][]

，且

![63d9f2d3572c11df4dc3b37e682762d0f703c259.jpg][]

是域，则称域**K**是域**F**的一个子域，域**F**是域**K**的一个扩域。

**例1** 全体有理数的集合Q、全体实数的集合R以及全体复数的集合C关于普通的加法和乘法均形成域。另外，对于任意的素数p，

![77094b36acaf2edd212d96b5861001e93801938a.jpg][]

关于普通的加法和乘法也形成域。而且Q是

![aec379310a55b319ed2d5d2948a98226cefc1791.jpg][]

的子域，

![aec379310a55b319ed2d5d2948a98226cefc1791.jpg][]

是R的子域，R是C的子域。

容易证明**K**是**F**的子域当且仅当

![8cb1cb13495409237697bd229958d109b2de49f4.jpg][]

和

![8644ebf81a4c510fd0c6ee476b59252dd42aa568.jpg][]

同时成立。如果一个域**F**'与另一个域F的某个子域**K**同构，则可以将域**F**'与域**K**等同，从而将域**F**'视为域**F**的一个子域。

# 代数闭域 #

[域][Link 2]F称为代数闭域，如果对于任何系数属于F的一元[多项式][Link 3]f(x)，f(x)在F中至少有一个[根][Link 4]。

代数闭域是一类重要的域。指次数大于1的多项式均可分解的域。若域K上多项式环K\[x\]中的每一个次数大于零的多项式在K中都有一个根，则称K为代数闭域。从而在K\[x\]中每个次数大于零的多项式能分解为一次因式之积。1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)在他发表的基本论文中首先证明：每个域都可以经代数扩张得到一个代数闭域。

## 例子 ##

举例明之，[实数][Link 5]域并非代数闭域，因为下列实系数多项式无实根： \[1\]

![730e0cf3d7ca7bcbcdad8257b5096b63f724a8f0.jpg][]

同理可证[有理数][Link 6]域非代数闭域。此外，[有限域][Link 7]也不是代数闭域，因为若

![d439b6003af33a870be84562cd5c10385243b5c5.jpg][]

列出 F的所有元素，则下列多项式在F中没有根：

![0df431adcbef7609b31adde725dda3cc7cd99eb1.jpg][]

反之，[复数][Link 8]域则是代数闭域；这是[代数基本定理][Link 9]的内容。另一个代数闭域之例子是代数数域。

# 代数闭包 #

设E/F为代数扩张，且*E*是代数闭域，则称*E*是*F*的一个**代数闭包**。可以视之为包含*F*的最小的代数闭域。

代数闭包(algebraic closure)是一个域的最大代数扩域。若域F的代数扩域Ω为代数闭域，则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的，并且在F同构意义下惟一。这个基本定理来自[施泰尼茨][Link 10](Steinitz，E.)。设K是域F的扩域，在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包，它是F在K内的最大代数扩域。特别地，若F=A，则称F在K内是代数闭的。

[https_baike.baidu.com_item_E5_AD_90_E5_9F_9F_5873902_fr_aladdin]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%90%E5%9F%9F/5873902?fr=aladdin
[https_baike.baidu.com_item_E4_BB_A3_E6_95_B0_E9_97_AD_E5_9F_9F_8960951_fr_aladdin]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%97%AD%E5%9F%9F/8960951?fr=aladdin
[https_baike.baidu.com_item_E4_BB_A3_E6_95_B0_E9_97_AD_E5_8C_85_18917783]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%97%AD%E5%8C%85/18917783
[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9E%E6%95%B0%E5%9F%9F/8281537
[2fdda3cc7cd98d1037c7006c2a3fb80e7bec905f.jpg]: https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D108/sign=e10459342e2dd42a5b0905ab3b3a5b2f/2fdda3cc7cd98d1037c7006c2a3fb80e7bec905f.jpg
[908fa0ec08fa513d1b12b082366d55fbb2fbd936.jpg]: https://gss1.bdstatic.com/-vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D54/sign=99479472d91b0ef468e8985adcc476a0/908fa0ec08fa513d1b12b082366d55fbb2fbd936.jpg
[63d9f2d3572c11df4dc3b37e682762d0f703c259.jpg]: https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D112/sign=131996ae72310a55c024daf585444387/63d9f2d3572c11df4dc3b37e682762d0f703c259.jpg
[77094b36acaf2edd212d96b5861001e93801938a.jpg]: https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D196/sign=05a50194114c510faac4e61356582528/77094b36acaf2edd212d96b5861001e93801938a.jpg
[aec379310a55b319ed2d5d2948a98226cefc1791.jpg]: https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D49/sign=bad8b60c3fa85edffe8cff2a48540d0f/aec379310a55b319ed2d5d2948a98226cefc1791.jpg
[8cb1cb13495409237697bd229958d109b2de49f4.jpg]: https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D128/sign=076cc5b1a8cc7cd9fe2d30db01002104/8cb1cb13495409237697bd229958d109b2de49f4.jpg
[8644ebf81a4c510fd0c6ee476b59252dd42aa568.jpg]: https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D122/sign=b1a6906c47086e066ea83b4930097b5a/8644ebf81a4c510fd0c6ee476b59252dd42aa568.jpg
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E5%9F%9F
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%B9/1177078
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9E%E6%95%B0
[730e0cf3d7ca7bcbcdad8257b5096b63f724a8f0.jpg]: https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D69/sign=21260bc195510fb37c19749ed8334469/730e0cf3d7ca7bcbcdad8257b5096b63f724a8f0.jpg
[Link 6]: https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
[Link 7]: https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%9F%9F
[d439b6003af33a870be84562cd5c10385243b5c5.jpg]: https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D60/sign=a111f26ec4fc1e17f9bf8f314b90a9ac/d439b6003af33a870be84562cd5c10385243b5c5.jpg
[0df431adcbef7609b31adde725dda3cc7cd99eb1.jpg]: https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D196/sign=0e081a280733874498c52b75670fd937/0df431adcbef7609b31adde725dda3cc7cd99eb1.jpg
[Link 8]: https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%8D%E6%95%B0/254365
[Link 9]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/18104
[Link 10]: https://baike.baidu.com/item/%E6%96%BD%E6%B3%B0%E5%B0%BC%E8%8C%A8/19140883