盘点数学里十大不需要语言的证明

一时失言乱红尘 2022-03-01 03:34 192阅读 0赞

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当谈到复杂数学定理的证明时，很多人常常为之色变，认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程。这当然是一个让笔者感到纠结的误解。因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线，而这种亮丽甚至不需要用语言来描述。所以我在这里盘点了数学里十大不需要语言的证明（proofs without words）。让读者在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外，更从此爱上数学。

## 0. 勾股定理 ##

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

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实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。

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## 1. 关于反正切的恒等式 ##

关于反正切，有如下两个很精彩的等式：

arctan1/2+arctan1/3=π/4
    
    acrtan1+arctan2+arctan3=π

它们的证明方法也同样精彩

![/gkimage/zg/jr/w3/zgjrw3.png][gkimage_zg_jr_w3_zgjrw3.png]![/gkimage/nw/qe/01/nwqe01.png][gkimage_nw_qe_01_nwqe01.png]

## 2. 几何平均值小于算术平均值 ##

这是不等式中最重要和基础的等式：

![/gkimage/71/gi/w6/71giw6.png][gkimage_71_gi_w6_71giw6.png]

它也可以通过图形来证明。

![/gkimage/72/u4/3y/72u43y.png][gkimage_72_u4_3y_72u43y.png]

注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。

## 3. 1+3+5+…+（2n-1）= n 2 ##

这是奇数的求和公式，下图是当n=8时的情形

![/gkimage/cq/1e/b5/cq1eb5.png][gkimage_cq_1e_b5_cq1eb5.png]

## 4. 平方数的求和公式 ##

![/gkimage/om/n0/yt/omn0yt.png][gkimage_om_n0_yt_omn0yt.png]![/gkimage/a6/ur/th/a6urth.png][gkimage_a6_ur_th_a6urth.png]

## 5. 立方数的求和公式 ##

![/gkimage/y7/9s/66/y79s66.png][gkimage_y7_9s_66_y79s66.png]![/gkimage/le/dl/i2/ledli2.png][gkimage_le_dl_i2_ledli2.png]

## 6. 斐波那契数列的恒等式 ##

可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和， F n+1 = F n + F n-1 。

它的通项公式是

![/gkimage/js/vi/u3/jsviu3.png][gkimage_js_vi_u3_jsviu3.png]

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时 F n-1 / F n 越来越逼近黄金分割数0.618。正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的

![/gkimage/3h/le/o8/3hleo8.png][gkimage_3h_le_o8_3hleo8.png]

这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法

![/gkimage/7u/0w/4i/7u0w4i.png][gkimage_7u_0w_4i_7u0w4i.png]

## 7. 结果为1/3的一组分子式 ##

下面是一组分子式，他们的结果都等于1/3 ：

![/gkimage/3b/ec/8j/3bec8j.png][gkimage_3b_ec_8j_3bec8j.png]![/gkimage/4s/m4/v7/4sm4v7.png][gkimage_4s_m4_v7_4sm4v7.png]

## 8. 最受数学家喜爱的无字证明 ##

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

![/gkimage/vf/of/8m/vfof8m.png][gkimage_vf_of_8m_vfof8m.png]

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

![/gkimage/et/ix/dx/etixdx.png][gkimage_et_ix_dx_etixdx.png]

它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 [这个问题][Link 1] 。同时它还是死理性派logo的出处。

## 9. 棋盘上的数学证明 ##

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

![/gkimage/ia/e7/ky/iae7ky.png][gkimage_ia_e7_ky_iae7ky.png]

答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。

![/gkimage/lr/i8/l8/lri8l8.png][gkimage_lr_i8_l8_lri8l8.png]

上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

> 数学里，有一种证明方法叫做Proofs without words。诚然，这种证明方法算不上严格，但是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来。本文列举了十个经典的例子。你还见过什么高明的吗，可以在回帖中写出来。如果有很漂亮的，我会在这里推荐出来。

资料来源：

[mathoverflow][]

《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

《Proofs without words》

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[Link 1]: http://www.guokr.com/article/7937/
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[mathoverflow]: http://mathoverflow.net/questions/8846?sort=votes&page=1#sort-top
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