牛客练习赛41 E-球的体积并——————几何

心已赠人 2022-03-12 01:21 75阅读 0赞

链接：[https://ac.nowcoder.com/acm/contest/373/E][https_ac.nowcoder.com_acm_contest_373_E]  
来源：牛客网

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒  
空间限制：C/C++ 32768K，其他语言65536K  
Special Judge, 64bit IO Format: %lld  
**题目描述**  
某天lililalala正在玩一种奇妙的吃鸡游戏–因为在这个游戏里会同时有两个圆形安全区(他们可能相交)。  
lililalala觉得求圆的面积并太简单了，所以想把这个问题升级一下。  
现在在三维空间里有 2 个球形安全区，分别用四元组  < x 1 , y 1 , z 1 , r 1 > <x1,y1,z1,r1> <x1,y1,z1,r1>和 < x 2 , y 2 , z 2 , r 2 > <x2,y2,z2,r2> <x2,y2,z2,r2>表示，其中  r 1 、 r 2 r1、r2 r1、r2表示球半径，  ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x1,y1,z1) (x1,y1,z1)和  ( x 2 , y 2 , z 2 ) (x2,y2,z2) (x2,y2,z2)表示球心  
lililalala想知道安全区的总体积是多少？即求这两个球的体积并。

**输入描述:**  
输入有两行。  
第一行四个实数  x 1 , y 1 , z 1 , r 1 x1,y1,z1,r1 x1,y1,z1,r1–第一个球的球心坐标和半径。  
第二行四个实数  x 2 , y 2 , z 2 , r 2 x2,y2,z2,r2 x2,y2,z2,r2–第二个球的球心坐标和半径。  
保证所有输入的坐标和半径的范围都在  \[ − 100 , 100 \] \[−100,100\] \[−100,100\] 内。

**输出描述:**  
输出一行一个实数–表示两个球的体积并，你的答案被认为正确，当且仅当绝对误差不超过10−6。  
**示例1**  
输入  
0 0 0 1  
2 0 0 1  
输出  
8.3775804  
**示例2**  
输入  
0 0 0 1  
0 0 0 0.5  
输出  
4.1887902

--------------------

两个球不相交或者小球在大球内部的情况非常简单，结果就是球的体积  
两球相交的时候，即  f a b s ( r 1 − r 2 ) < d < r 1 + r 2 fabs(r\_1-r\_2)<d<r\_1+r\_2 fabs(r1−r2)<d<r1\+r2的情况  
结果是两个球的体积减去它们球缺的体积就好了

**球缺**

*  一个球被平面截下的一部分叫做球缺。
 *  截面叫做球缺的底面
 *  垂直于截面的直径被截后被截下的线段长叫做球缺的高。
 *  球缺曲面部分的面积（球冠面积） S = 2 π R h S=2πRh S=2πRh
 *  球缺体积公式 V = ( π / 3 ) ( 3 R − h ) ∗ h 2 = π h 2 ( R − h 3 ) V=(π/3)(3R-h)\*h^2=\\pi h^2(R-\\frac\{h\}\{3\}) V=(π/3)(3R−h)∗h2=πh2(R−3h)（R是球的半径,H是球缺的高)。

即  
 V = π h 2 ( R − h 3 ) \\large V =\\pi h^2(R-\\frac\{h\}\{3\}) V=πh2(R−3h)  
如图所示，上边被切下来的部分就是球缺…我们需要知道它的体积  
![在这里插入图片描述][20190305193808203.png]

code

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const double PI = acos(-1.0);
    
    struct Point{
        
            double x,y,z,r;
    }a,b;
    
    double dis(Point a,Point b)
    {
        
            return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y) + (a.z-b.z)*(a.z-b.z));
    }
    int main()
    {
        
            // freopen("../in.txt","r",stdin);
            // freopen("../out.txt","w",stdout);
            cin>>a.x>>a.y>>a.z>>a.r;
            cin>>b.x>>b.y>>b.z>>b.r;
            double d = dis(a,b);
            double ans = 4.0*PI*(a.r*a.r*a.r+b.r*b.r*b.r)/3.0;
            if(d<=fabs(a.r-b.r))    ans = 4.0*PI*pow(a.r>b.r?a.r:b.r,3)/3.0;//小球在大球内
            else if(d<a.r+b.r){
        //两球相交，减去两个球缺的体积
                    double cosq1 = (a.r*a.r + d*d - b.r*b.r)/(2.0*a.r*d); //对应的余弦角
                    double cosq2 = (b.r*b.r + d*d - a.r*a.r)/(2.0*b.r*d);
                    double h1 = a.r*(1-cosq1);//a球 球缺的高
                    double h2 = b.r*(1-cosq2);//b球 球缺的高
                    ans -= PI*h1*h1*(a.r-h1/3.0);//球缺体积公式
                    ans -= PI*h2*h2*(b.r-h2/3.0);//减去b球的球缺部分
            }
            printf("%.7f\n",ans);
            return 0;
    }

[https_ac.nowcoder.com_acm_contest_373_E]: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/373/E
[20190305193808203.png]: /images/20220312/b282d08982dd4ea58e05e404b6983d2d.png