尾部的零

系统管理员 2022-03-19 06:15 167阅读 0赞

设计一个算法，计算出n阶乘中尾部零的个数

### 样例 ###

样例  1:
    	输入: 11
    	输出: 2
    	
    	样例解释: 
    	11! = 39916800, 结尾的0有2个。
    
    样例 2:
    	输入:  5
    	输出: 1
    	
    	样例解释: 
    	5! = 120， 结尾的0有1个。

### **原理** ###

假如你把1 × 2 ×３× 4 ×……×N中每一个因数分解质因数，结果就像：   
1 × 2 × 3 × (2 × 2) × 5 × (2 × 3) × 7 × (2 × 2 ×2) ×……   
10进制数结尾的每一个0都表示有一个因数10存在——任何进制都一样，对于一个M进制的数，让结尾多一个0就等价于乘以M。   
10可以分解为2 × 5——因此只有质数2和5相乘能产生0，别的任何两个质数相乘都不能产生0，而且2，5相乘只产生一个0。   
所以，分解后的整个因数式中有多少对(2, 5)，结果中就有多少个0，而分解的结果中，2的个数显然是多于5的，因此，有多少个5，就有多少个(2, 5)对。   
所以，讨论1000的阶乘结尾有几个0的问题，就被转换成了1到1000所有这些数的质因数分解式有多少个5的问题。

### 公式 ###

求末尾0的个数：   
至于一个数阶乘的末尾有多少个0，0的个数为（其中的“/”是取整除法）：   
例子：1000的阶乘末尾0的个数   
1000/5^1 + 1000/5^2 + 1000/5^3 + 1000/5^4   
= 200 + 40 + 8 + 1   
= 249(个)  
**注：5^4 ：五的四次方，因为5^4 小于1000,5^5大于1000，所以加到5^4 **

所以，具体的代码操作如下所示：

public class Solution {
        /*
         * @param n: An integer
         * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
         */
        public long trailingZeros(long n) {
            // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
            long count = 0;//定义零的个数初始化为0
            for(int i=1;Math.pow(5,i)<=n;i++){
                //Math.pow(5,i)函数，是计算5的i次方的值
                count += n/(long)Math.pow(5,i);//计算出5的个数的总和
            }
            return count;
        }
    }

public class Solution {
        /*
         * @param n: An integer
         * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
         */
        public long trailingZeros(long n) {
            // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
            long count = 0;//定义零的个数初始化为0
            while(n!=0){
                count += n/5;//计算出5的个数的总和
                n/=5;
            }
            return count;
        }
    }
    /*假设n=1000，则对于while循环来说：
    *第一次，count = 200  n = 200    5^1
    *第二次，count = 200+40  n = 40    5^2
    *第三次，count = 200+40+8  n = 8    5^3
    *第四次，count = 200+40+8+1  n = 1    5^4
    *第五次，count = 200+40+8+1+0  n = 0    5^5 > 1000 ,所以结果为0
    */