【详细】使用正定分解矩阵拟合线性一次方程

谁践踏了优雅 2022-03-21 08:44 272阅读 0赞

1.如何对方程 A X = b AX=b AX=b求解，A=\[x1,x2,x3,…xn\], b=\[y1,y2,y3…yn\]都为列向量。  
输入A,b的散点图如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zODYzMjI0Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
数学推导如下：

令 C = A T ∗ A 令C=A^\{T\}\*A 令C=AT∗A  变 换 为 ： A T ∗ A X = A T ∗ b 变换为：A^\{T\}\*AX=A^\{T\}\*b 变换为：AT∗AX=AT∗b  即 ： C X = A T ∗ b = B 即：CX=A^\{T\}\*b=B 即：CX=AT∗b=B

C 为 正 定 矩 阵 可 以 表 示 为 一 个 下 三 角 矩 阵 L 和 其 转 置 L T 的 积 ： C为正定矩阵可以表示为一个下三角矩阵L和其转置L^\{T\}的积： C为正定矩阵可以表示为一个下三角矩阵L和其转置LT的积：  
 L ∗ L T X = B L\*L^\{T\}X=B L∗LTX=B  
 令 ： L T X = Y 、 先 通 过 L ∗ Y = B 求 得 Y ， 再 通 过 L T X = Y 求 得 X 令：L^\{T\}X=Y 、 先通过 L\*Y=B求得Y，再通过 L^\{T\}X=Y求得X 令：LTX=Y、先通过L∗Y=B求得Y，再通过LTX=Y求得X

import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import tensorflow as tf
    
    sess = tf.Session()
    A = np.linspace(0, 10, 100)
    b = A + np.random.normal(0, 1, 100)
    x_vals_column = np.transpose(np.matrix(A))
    ones_column = np.transpose(np.matrix(np.repeat(1, 100)))
    A = np.column_stack((x_vals_column, ones_column))
    b = np.transpose(np.matrix(b))
    A_tensor = tf.constant(A)   #输入矩阵A
    b_tensor = tf.constant(b)   #输出矩阵B
    
    tA_A = tf.matmul(tf.transpose(A_tensor), A_tensor)   #求得正定矩阵C
    L = tf.cholesky(tA_A)  #三角矩阵L
    tA_b = tf.matmul(tf.transpose(A_tensor), b)
    sol1 = tf.matrix_solve(L, tA_b) #求得Y
    sol2 = tf.matrix_solve(tf.transpose(L), sol1) #求得X
    
    solution_eval = sess.run(sol2)
    slope = solution_eval[0][0]
    y_intercept = solution_eval[1][0]
    print('slope: ' + str(slope))
    print('y'_intercept: ' + str(y_intercept))
    
    best_fit = []
    for i in x_vals:
    	best_fit.append(slope*i+y_intercept)
    plt.plot(x_vals, y_vals, 'o', label='Data')
    plt.plot(x_vals, best_fit, 'r-', label='Best' fit line',
    linewidth=3)
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.show()

拟合一次方程图像如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zODYzMjI0Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zODYzMjI0Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220321/bdf995f67bd9486a916e941c5786c60d.png
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