单变量微分、导数与链式法则

电玩女神 2022-03-25 05:30 420阅读 0赞

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**映射**是一种对应关系。

**函数**是一种映射，将变量间的关系形式化为数学描述。

令 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)，即 y y y是 x x x的函数，可以是 y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y=2x\+1，也可以是 y = s i n ( x ) y = sin(x) y=sin(x)。 x x x的变化将引起 y y y的变化， x x x的变化量 △ x \\triangle x △x导致 y y y变化 △ y \\triangle y △y，当变化量很小（趋近于0）时，为瞬间变化量，记为 d x dx dx和 d y dy dy，瞬间变化量之比为瞬间变化率，即 d y d x \\frac\{dy\}\{dx\} dxdy。瞬间变化率 d y d x \\frac\{dy\}\{dx\} dxdy乘以 x x x的瞬间变化量 d x dx dx为 y y y的瞬间变化量 d y dy dy。

**导数**（Derivative），是对瞬间变化率的衡量，即 d y d x \\frac\{dy\}\{dx\} dxdy，**导数也是函数**，衡量每个 x x x位置处的瞬间变化率。而**微分**（Differential，differentiation， differential calculus），指的是求导数——通过求瞬间变化量的关系来求导数。

当 x x x为单变量时，导数为

f ′ ( a ) = d y d x ∣ x = a = lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f&\#x27;(a) = \\frac\{dy\}\{dx\} \\rvert \_\{x=a\} = \\lim\_\{h \\rightarrow 0\} \\frac\{f(a + h) - f(a)\}\{h\} f′(a)=dxdy∣x=a=h→0limhf(a\+h)−f(a)  
![Derivative][]  
每个位置处的导数如下  
![Derivative][Derivative 1]

**基本初等函数**包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

基本初等函数通过四则运算和**复合**可以得到复杂函数，其中减法与加法等价，除法与乘法等价：

1.  加法（减法）： f ( x ) + g ( x ) f(x)+g(x) f(x)\+g(x)
2.  乘法（除法）： f ( x ) g ( x ) f(x)g(x) f(x)g(x)
3.  复合： f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x))

**加法的求导**可以理解为**变化量（率）的叠加**，即 f ′ + g ′ f&\#x27; + g&\#x27; f′\+g′；  
**乘法的求导**可以理解为**矩形面积的变化率**，将 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)看成矩形的边长，导数为$ ( f + d f ) ( g + d g ) d x \\frac\{(f + df)(g+dg)\}\{dx\} dx(f\+df)(g\+dg)，在 d x dx dx趋近于0时，面积增量为 f d g + g d f fdg+gdf fdg\+gdf（忽略了极小项），即导数为 f ′ g + f g ′ f&\#x27;g+fg&\#x27; f′g\+fg′。如下  
![knqYVg.png][]  
**复合函数的求导**可以理解为**变化率的传递**， y = f ( u ) y = f(u) y=f(u)， u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)， x x x的变化引起 u u u的变化， u u u的变化引起 y y y的变化，即 d y = d y d u d u = d y d u d u d x d x dy=\\frac\{dy\}\{du\} du =\\frac\{dy\}\{du\} \\frac\{du\}\{dx\} dx dy=dudydu=dudydxdudx， d y d x = d y d u d u d x \\frac\{dy\}\{dx\}= \\frac\{dy\}\{du\} \\frac\{du\}\{dx\} dxdy=dudydxdu，此为**链式法则**， f ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) f&\#x27;(x) = f&\#x27;(g(x)) g&\#x27;(x) f′(x)=f′(g(x))g′(x)。变化量的传递如下：  
![Chain Rule][]

可以令 x x x变化一个极小量如 △ x = 0.000001 \\triangle x=0.000001 △x=0.000001，带入函数求 y y y的变化量 △ y \\triangle y △y，用 △ y △ x \\frac\{\\triangle y\}\{\\triangle x\} △x△y来估计 x x x位置的导数，但这无疑是费时费力的，常见函数的导数一般都存在解析形式，如下：  
![Derivatives of Common Functions][]

# 参考 #

*  [http://mathworld.wolfram.com/Differential.html][http_mathworld.wolfram.com_Differential.html]
 *  [Chain rule][]
 *  [3Bulu1Brown-直观理解链式法则和乘积法则][3Bulu1Brown-]

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[http_mathworld.wolfram.com_Differential.html]: http://mathworld.wolfram.com/Differential.html
[Chain rule]: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-2-new/ab-3-1a/a/chain-rule-review
[3Bulu1Brown-]: https://www.bilibili.com/video/av10435213