MIT_单变量微积分_01

末蓝、 2022-03-25 12:10 138阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  1. 何为导数
     *   *  1.1 几何解释
         *  1.2 物理角度解释
         *  1.3 导数全方位的重要性
     *  2. 如何求任意导数
     *   *  2.1 例题解析
     *  3 附录

## 1. 何为导数 ##

### 1.1 几何解释 ###

（1） 如何求某个图像的切线的点？图像如图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70]

*  切线方程：  y − y 0 = m ( x − y 0 ) y - y\_0 = m(x - y\_0) y−y0=m(x−y0)。
 *  斜率：  m = f ( x 0 ) ′ m = \{f(x\_0)\}&\#x27; m=f(x0)′ 即点P的导数 。

（2） 假如有一条割线 P 、 Q P、Q P、Q， **切线** 是一种P、Q的极限，是Q趋近于P，如图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

*  直线  l l l 斜率： Δ f Δ x \\frac\{\\Delta f\}\{\\Delta x\} ΔxΔf
 *  切线的斜率： m = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f Δ x m = \\lim\_\{\\Delta x \\to 0\} \{\\frac\{\\Delta f\}\{\\Delta x\}\} m=limΔx→0ΔxΔf
 *   m = f ( x 0 ) ′ = l i m Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x m = \{f(x\_0)\}&\#x27; = lim\_\{\\Delta x \\to 0\} \{\\frac\{f(x\_0 + \\Delta x) - f(x\_0)\}\{\\Delta x\}\} m=f(x0)′=limΔx→0Δxf(x0\+Δx)−f(x0)（差商）

### 1.2 物理角度解释 ###

(1)  q q q 表示电荷， d q d t \\frac\{dq\}\{dt\} dtdq 表示电流。  
(2)  s s s 表示距离， d s d t \\frac\{d s\}\{dt\} dtds 表示速度。  
如图， h = 80 − 5 t 2 , t = 0 , h = 80 ; 物 体 落 地 时 间 t = 4 , h = 0 h = 80 - 5 t^2, t = 0, h = 80; 物体落地时间 t = 4, h = 0 h=80−5t2,t=0,h=80;物体落地时间t=4,h=0,求平均速度、瞬时速度。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

*  平均速度：  v ˉ = Δ h Δ t = 0 − 80 4 − 0 = − 20 m / s \\bar\{v\} = \\frac\{\\Delta h\}\{\\Delta t\} = \\frac\{0 - 80\}\{4 - 0\} = -20 m/s vˉ=ΔtΔh=4−00−80=−20m/s
 *  由于  h ′ = d h d t = − 10 t h&\#x27; = \\frac\{d h\}\{d t\} = -10t h′=dtdh=−10t ,所以，瞬时速度： v = − 40 m / s v = -40 m/s v=−40m/s

(3)  T T T表示温度，则 d T d x 表 示 温 度 梯 度 \\frac\{dT\}\{dx\}表示温度梯度 dxdT表示温度梯度  
(4)测量灵敏度。  
(5)GPS.

### 1.3 导数全方位的重要性 ###

## 2. 如何求任意导数 ##

### 2.1 例题解析 ###

（1） f ( x ) = 1 x f(x) = \\frac\{1\}\{x\} f(x)=x1

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

*   Δ f Δ x = 1 x 0 + Δ x − 1 x 0 Δ x = 1 Δ x \{ − Δ x ( x 0 + Δ x ) ∗ x 0 \} = − 1 ( x 0 + Δ x ) ∗ x 0 \\frac\{\\Delta f\}\{\\Delta x\} = \\frac\{\\frac\{1\}\{x\_0+\\Delta x\} - \\frac\{1\}\{x\_0\}\}\{\\Delta x\} \\\\ = \\frac\{1\}\{\\Delta x\} \\left \\\{ \\frac\{- \\Delta x\}\{ (x\_0 + \\Delta x) \* x\_0\} \\right \\\} \\\\ = \\frac\{-1\}\{(x\_0 + \\Delta x) \* x\_0\} ΔxΔf=Δxx0\+Δx1−x01=Δx1\{ (x0\+Δx)∗x0−Δx\}=(x0\+Δx)∗x0−1
 *  由于  Δ x → 0 \{\\Delta x \\to 0\} Δx→0,所以  f ( x 0 ) ′ = Δ f Δ x = − 1 x 0 2 f(x\_0)&\#x27; =\\frac\{\\Delta f\}\{\\Delta x\} = -\\frac\{1\}\{x\_0^2\} f(x0)′=ΔxΔf=−x021.

(2)  y = 1 x y = \\frac\{1\}\{x\} y=x1,如图所示，求阴影三角形面积。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

*  解： 由（1）可知： 切线方程为： y − 1 x 0 = − 1 x 0 2 ( x − x 0 ) y - \\frac\{1\}\{x\_0\} = - \\frac\{1\}\{x\_0^2\}(x - x\_0) y−x01=−x021(x−x0)  
    所以， A ( 2 x 0 , 0 ) A(2x\_0, 0) A(2x0,0),  B ( 0 , 2 x 0 ) B(0, \\frac\{2\}\{x\_0\}) B(0,x02)  
    得： S Δ A B O = 1 2 ∗ 2 x 0 ∗ 2 x 0 = 2 S\_\{\\Delta ABO\} = \\frac\{1\}\{2\} \*2x\_0\*\\frac\{2\}\{x\_0\} = 2 SΔABO=21∗2x0∗x02=2

(3)  f x = x n ( n = 1 , 2 , 3 , 4..... , n ) f\{x\} = x^ n (n =1,2,3,4.....,n) fx=xn(n=1,2,3,4.....,n)，求其导数?

*  解： Δ f Δ x = ( x + Δ x ) n − x n Δ x = 1 Δ x ( x n + n x n − 1 Δ x + O ( ( Δ x ) 2 ) − x n ) = 1 Δ x ( n x n − 1 Δ x + O ( ( Δ x ) 2 ) ) = n x n − 1 + O ( Δ x ) \\frac\{\\Delta f\}\{ \\Delta x\} = \\frac\{(x+\\Delta x)^n - x^n\}\{\\Delta x\} \\\\ =\\frac\{1\}\{\\Delta x\}(x^n + nx^\{n-1\}\\Delta x + O((\\Delta x) ^2) - x^n) \\\\ =\\frac\{1\}\{\\Delta x\} (nx^\{n-1\}\\Delta x +O((\\Delta x) ^2) )\\\\ =nx^\{n - 1\} + O(\\Delta x) ΔxΔf=Δx(x\+Δx)n−xn=Δx1(xn\+nxn−1Δx\+O((Δx)2)−xn)=Δx1(nxn−1Δx\+O((Δx)2))=nxn−1\+O(Δx)
 *  由于， Δ x → 0 \\Delta x \\to 0 Δx→0,所以，  Δ f Δ x = n x n − 1 \\frac\{\\Delta f\}\{ \\Delta x\} =nx^\{n - 1\} ΔxΔf=nxn−1

## 3 附录 ##

注解：二项式定理  
 ( x + Δ x ) n = ( x + Δ x ) . . . . . . ( x + Δ x ) = x n + n x n − 1 + J u n k ( 余 项 ， 使 用 O ( Δ x ) 2 代 表 。 ) (x+\\Delta x) ^ n = (x+\\Delta x) ......(x+\\Delta x)\\\\ =x^n + nx^\{n - 1\} + Junk(余项，使用O(\\Delta x)^2代表。) (x\+Δx)n=(x\+Δx)......(x\+Δx)=xn\+nxn−1\+Junk(余项，使用O(Δx)2代表。)  
导数记号：  
 f ′ = d f d x = d y d x = d d x f = Δ f Δ x = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f&\#x27; = \\frac\{df\}\{dx\} = \\frac\{dy\}\{dx\} = \\frac\{d\}\{dx\}f =\\frac\{\\Delta f\}\{\\Delta x\} = \\frac\{f(x+\\Delta x) - f(x)\}\{\\Delta x\} f′=dxdf=dxdy=dxdf=ΔxΔf=Δxf(x\+Δx)−f(x)

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