树的知识点总结-数据结构

小鱼儿 2022-04-10 01:27 367阅读 0赞

1.  \*\*

## 一：树的基本术语 ##

1.**定义**  
树是一种非线性结构，只有一个根结点，除根结点外每个孩子结点可以有多个后继，没有后继的结点叫叶子结点。  
2.**概念**  
根结点：没有前驱；  
孩子：有前驱的结点；  
双亲结点：孩子结点的前驱；  
叶子：没有孩子结点  
结点度：结点的分支数；

树的度：一棵树中最大结点度数；  
树的深度：树的层次数目；  
有序树：结点的子树从左到右有顺序；  
森林：多棵互不相交的树的集合；  
**3.二叉树**  
\*\*特点：特殊的树，每个结点最多有两棵子树，有左右顺序之分。  
性质：  
1.第i层上最多2^(i-1)个结点，最少0个；  
2.深度k，最多2^k-1个结点，最少k个结点；  
3.对于二叉树，终端结点（叶子结点）数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1;  
4.总结点数n,分支数B,则n=B+1,n=n0+n1+n2,B=n1+2\*n2;  
5.具有n个结点的完全二叉树的深度:\[log2^n\]+1;

二叉树的存储结构：  
对于非线性结构，顺序二叉树仅适用于完全二叉树，所有在这采用链式存储。

以下为二叉树的链式存储及基本操作  
包含三种递归遍历。

#define CHAR /* 字符型 */
     /* #define INT /* 整型（二者选一） */
     #include<string.h>
     #include<ctype.h>
     #include<malloc.h> /* malloc()等 */
     #include<limits.h> /* INT_MAX等 */
     #include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */
     #include<stdlib.h> /* atoi() */
     #include<io.h> /* eof() */
     #include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */
     #include<process.h> /* exit() */
     /* 函数结果状态代码 */
     #define TRUE 1
     #define FALSE 0
     #define OK 1
     #define ERROR 0
     #define INFEASIBLE -1
     typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
     typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
     #ifdef CHAR
       typedef char TElemType;
       TElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
     #endif
     #ifdef INT
       typedef int TElemType;
       TElemType Nil=0; /* 整型以0为空 */
     #endif
        /* c6-2.h 二叉树的二叉链表存储表示 */
     typedef struct BiTNode
     {
       TElemType data;
       struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
     }BiTNode,*BiTree;
    
     Status InitBiTree(BiTree *T)
     { /* 操作结果: 构造空二叉树T */
       *T=NULL;
       return OK;
     }
     void CreateBiTree(BiTree *T)
     { /* 算法6.4:按先序次序输入二叉树中结点的值（可为字符型或整型，在主程中 */
       /* 定义），构造二叉链表表示的二叉树T。变量Nil表示空（子）树。有改动 */
       TElemType ch;
     #ifdef CHAR
       scanf("%c",&ch);
     #endif
     #ifdef INT
       scanf("%d",&ch);
     #endif
       if(ch==Nil) /* 空 */
         *T=NULL;
       else
       {
         *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
         if(!*T)
           exit(OVERFLOW);
         (*T)->data=ch; /* 生成根结点 */
         CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */
         CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */
       }
     }
    
     Status BiTreeEmpty(BiTree T)
     { /* 初始条件: 二叉树T存在 */
       /* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */
       if(T)
         return FALSE;
       else
         return TRUE;
     }
    
     #define ClearBiTree DestroyBiTree
    
     int BiTreeDepth(BiTree T)
     { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */
       int i,j;
       if(!T)
         return 0;
       if(T->lchild)
         i=BiTreeDepth(T->lchild);
       else
         i=0;
       if(T->rchild)
         j=BiTreeDepth(T->rchild);
       else
         j=0;
       return i>j?i+1:j+1;
     }
    
     TElemType Root(BiTree T)
     { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的根 */
       if(BiTreeEmpty(T))
         return Nil;
       else
         return T->data;
     }
     void PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
     { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数。算法6.1，有改动 */
       /* 操作结果: 先序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
       if(T) /* T不空 */
       {
         Visit(T->data); /* 先访问根结点 */
         PreOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 再先序遍历左子树 */
         PreOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后先序遍历右子树 */
       }
     }
    
     void InOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
     { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
       /* 操作结果: 中序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
       if(T)
       {
         InOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先中序遍历左子树 */
         Visit(T->data); /* 再访问根结点 */
         InOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后中序遍历右子树 */
       }
     }
      void PostOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
     { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
       /* 操作结果: 后序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
       if(T) /* T不空 */
       {
         PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先后序遍历左子树 */
         PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再后序遍历右子树 */
         Visit(T->data); /* 最后访问根结点 */
       }
     }
    
    
     Status visitT(TElemType e)
     {
     #ifdef CHAR
       printf("%c ",e);
     #endif
     #ifdef INT
       printf("%d ",e);
     #endif
       return OK;
     }
    
     void main()
     {
       int i;
       BiTree T,p,c;
       TElemType e1,e2;
       InitBiTree(&T);
       printf("构造空二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
       e1=Root(T);
       if(e1!=Nil)
     #ifdef CHAR
         printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
     #endif
     #ifdef INT
         printf("二叉树的根为: %d\n",e1);
     #endif
       else
         printf("树空，无根\n");
     #ifdef CHAR
       printf("请先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)\n");
     #endif
     #ifdef INT
       printf("请先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)\n");
     #endif
       CreateBiTree(&T);
       printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
       e1=Root(T);
       if(e1!=Nil)
     #ifdef CHAR
         printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
     #endif
     #ifdef INT
         printf("二叉树的根为: %d\n",e1);
     #endif
       else
         printf("树空，无根\n");
       printf("先序递归遍历二叉树:\n");
       PreOrderTraverse(T,visitT);
       printf("\n");
       printf("中序递归遍历二叉树:\n");
       InOrderTraverse(T,visitT);
       printf("\n");
       printf("后序递归遍历二叉树:\n");
       PostOrderTraverse(T,visitT);
     }

**4.线索二叉树**  
特征：LTag=0:lchild域指示结点的左孩子  
———LTag=1:lchild域指示结点的前驱  
———RTag=0:lchild域指示结点的右孩子  
———RTag=1:lchild域指示结点的后继  
以这种结点结构构成的二叉树链表作为二叉树的存储结构，叫做线索链表，其中指向前驱和后继的指针叫做线索，加上线索的二叉树叫线索二叉树。

**5.树、二叉树、森林之间的转换**  
1.树和二叉树：  
树转化成二叉树：1.加线：兄弟相连；2.抹线：长兄为父；3.旋转：顺时针旋转90度；  
二叉树转化树：过程相反。  
2. 把如图所示的树转化成二叉树。  
![深度深度][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbmcxMzU2Mzc1ODEyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

2.森林转化成二叉树：  
先把每棵树转换成二叉树，把第二棵树根结点当作第一棵树的兄弟，依次这样操作。

3.二叉树转化成森林：  
二叉树的根结点的右孩子必是森林，孩子结点的右子树为兄弟。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbmcxMzU2Mzc1ODEyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

**6.赫夫曼树应用**  
定义：又称最优树，是一类带权值最短路径的树。  
路径长度：树中一个结点到另一个结点的分支数之和。  
带权路径长度：各分支数与上面的权值乘积之和。 树的带权路径长度：WPL

最优二叉树或赫夫曼树:WPL最小的树。

\*\*

## 详细问题请浏览本人其它博客，谢谢关注 ##

\*\*

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbmcxMzU2Mzc1ODEyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220404/1eae1fb4753a42a58b587e7b5e06ac93.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbmcxMzU2Mzc1ODEyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20220404/2cfcf33dadf74cc8a9a80a6d9ad3f7ef.png