The Application of Eigenvectors and Eigenvalues to Differential Equations

àì夳堔傛蜴生んèń 2022-04-12 05:14 235阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  微分方程的数学背景
     *  $du/dt=Au$的解
     *  二阶微分方程
     *  矩阵A的指数次幂（$e^\{At\}$）

## 微分方程的数学背景 ##

*  二阶常系数齐次线性微分方程： y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^\{&\#x27;&\#x27;\}+py^\{&\#x27;\}+qy=0 y′′\+py′\+qy=0

1.  p、q 是常数：这是常系数微分方程；不是常数：变系数微分方程
2.  当 r 为常数的时候，指数函数 e r x e^\{rx\} erx和它的各阶derivative都只差一个常数因子。所以，我们用此函数取适当的系数，看是否能满足微分方程。
3.  将  y = e r x y=e^\{rx\} y=erx    y ′ = r e r x y^\{&\#x27;\}=re^\{rx\} y′=rerx    y ′ ′ = r 2 e r x y^\{&\#x27;&\#x27;\}=r^\{2\}e^\{rx\} y′′=r2erx   代入方程：  
     ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^\{rx\}=0 (r2\+pr\+q)erx=0  
     因 为 e r x ̸ = 0 因为e^\{rx\}\\not=0 因为erx̸=0，所以 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^\{rx\}=0 (r2\+pr\+q)erx=0 ，  ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^\{rx\}=0 (r2\+pr\+q)erx=0叫做微分方程的特征方程，解出来的 r 1 r\_1 r1和 r 2 r\_2 r2叫做特征根

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>特征根 r 1 &nbsp;&nbsp; r 2 r_1\space \space r_2 r1&nbsp;&nbsp;r2</th> 
 <th>微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^{&amp;#x27;&amp;#x27;}+py^{&amp;#x27;}+qy=0 y′′+py′+qy=0的通解</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>两个不相等的实根 r 1 &nbsp;&nbsp; r 2 r_1\space \space r_2 r1&nbsp;&nbsp;r2</td> 
 <td> y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>两个相等的实根 r 1 = r 2 r_1= r_2 r1=r2</td> 
 <td> ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x (C_1+C_2x)e^{r_1x} (C1+C2x)er1x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>一对共轭复根 r 1 , 2 = α ± i β r_{1,2}=\alpha \pm i\beta r1,2=α±iβ</td> 
 <td> y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

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##  d u / d t = A u du/dt=Au du/dt=Au的解 ##

## 二阶微分方程 ##

## 矩阵A的指数次幂（ e A t e^\{At\} eAt） ##

全见 introduction to linear algerbra 312页