Determinants

短命女 2022-04-14 03:40 67阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  The Properties Of Determinants
     *  The Methods To Culculate Determinants
     *  Cramers's Rule, Inverses and Volumes
     *  行列式的几何意义

## The Properties Of Determinants ##

*  行列式的表示： det  A A A 或者 | A A A|

1. n by n 的单位阵的行列式是1  
 ∣ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ∣ = 1 \\left| \\begin\{matrix\} 1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\0 & 1 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 &0 & \\cdots & 1\\\\ \\end\{matrix\} \\right|=1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1

2. 如果方阵的两行互换，则行列式的符号改变，变成相反数  
 − ∣ a b c d ∣ = ∣ c d a b ∣ -\\left| \\begin\{matrix\} a & b \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right|= \\left| \\begin\{matrix\} c & d \\\\ a& b \\end\{matrix\} \\right| −∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=∣∣∣∣cadb∣∣∣∣

3. 行列式是 行 的线性函数  
 ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \\left| \\begin\{matrix\} ta & tb \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right|= t\\left| \\begin\{matrix\} a & b \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right| ∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣  
  
 ∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ \\left| \\begin\{matrix\} a+a&\#x27; & b+b&\#x27; \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right|= \\left| \\begin\{matrix\} a & b \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right|+ \\left| \\begin\{matrix\} a&\#x27; & b&\#x27; \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right| ∣∣∣∣a\+a′cb\+b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣\+∣∣∣∣a′cb′d∣∣∣∣

4. 如果有两行相等 ，则行列式为0  
 ∣ a b a b ∣ = 0 \\left| \\begin\{matrix\} a & b \\\\ a & b \\end\{matrix\} \\right|=0 ∣∣∣∣aabb∣∣∣∣=0

5. 一行乘以一个数加到另一行，行列式不变  
 ∣ a b c − ρ a d − ρ b ∣ = ∣ a b c d ∣ \\left| \\begin\{matrix\} a & b \\\\ c-\\rho a & d-\\rho b \\end\{matrix\} \\right|= \\left| \\begin\{matrix\} a & b \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right| ∣∣∣∣ac−ρabd−ρb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣

6. 有全0行的方阵 的行列式为0  
 ∣ 0 0 c d ∣ = 0 \\left|\\begin\{matrix\} 0 & 0\\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right|=0 ∣∣∣∣0c0d∣∣∣∣=0

7. 三角阵的行列式：对角元素乘积  
 ∣ a 0 c d ∣ = a d          ∣ a b 0 d ∣ = a d \\left|\\begin\{matrix\} a & 0\\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right|=ad\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space \\left| \\begin\{matrix\} a & b\\\\ 0 & d \\end\{matrix\} \\right|=ad ∣∣∣∣ac0d∣∣∣∣=ad        ∣∣∣∣a0bd∣∣∣∣=ad

8. 如果行列式为0，方阵是奇异矩阵（不可逆）。如果方阵可逆，行列式不为0

9.  A B AB AB的行列式等于 A A A的行列式乘以 B B B的行列式  
 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣

10.  A A A转置的行列式等于 A A A的行列式(**意味着以上的性质也适应于列**)  
 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣

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## The Methods To Culculate Determinants ##

*  **Big Formula**（其实是一个公式）

1.   n ∗ n n\*n n∗n的矩阵有 n ! n! n!项 ，一半是正数，一半是负数，  
 2 ∗ 2 方 阵          ∣ a b c d ∣ = a d − b c 2\*2方阵\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space \\left|\\begin\{matrix\} a & b\\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right|=ad-bc 2∗2方阵        ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc  
 3 ∗ 3 方 阵      ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 3\*3方阵\\space\\space\\space\\space \\left|\\begin\{matrix\} a11 & a12 &a13 \\\\ a21 & a22 & a23 \\\\ a31 & a32 & a33 \\end\{matrix\} \\right|=a11 a22 a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 3∗3方阵    ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11a22a33\+a12a23a31\+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

2.  **有时候可以进行快速计算**，我们遵循一个原则：每项中的entry来自不同的行和列，所有可能结果之和就是行列式。如：4\*4方阵，每项有4个entrys  
 \[ 1 0 a 0 0 1 b 0 0 0 c 0 0 0 d 1 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 0&a &0\\\\ 0 & 1 & b&0\\\\ 0& 0 & c&0\\\\ 0 & 0 & d&1 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎢⎢⎡10000100abcd0001⎦⎥⎥⎤

*  第 1、2、4列只能选1，其他都是0，第三列我们可以选 a b c d，但是，1 2 4 行已经有值，所以只能选c。只有一种可能：1 1 c 1，行列式为c
 *   如果经过换列或者行才能将entry都放在对角上，变换次数是偶数，行列式不变，变换次数是奇数，行列式还需要乘以-1。如下：  
      
     \[ 1 0 a 0 0 1 b 0 0 1 c 0 0 0 d 1 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 0&a &0\\\\ 0 & 1 & b&0\\\\ 0& 1& c&0\\\\ 0 & 0 & d&1 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎢⎢⎡10000110abcd0001⎦⎥⎥⎤  
    那么可选择的有下面两个，但是右边的需要第二列 和第三列互换，才能得到对角矩阵，所以行列式为-b。最终结果加起来：c-b  
     \[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c 0 0 0 0 1 \]         \[ 1 0 0 0 0 0 b 0 0 1 0 0 0 0 0 1 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 0&0&0\\\\ 0 & 1 &0&0\\\\ 0& 0& c&0\\\\ 0 & 0 & 0&1 \\end\{matrix\} \\right\] \\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 0&0&0\\\\ 0 & 0& b&0\\\\ 0& 1& 0&0\\\\ 0 & 0 & 0&1 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎢⎢⎡1000010000c00001⎦⎥⎥⎤       ⎣⎢⎢⎡100000100b000001⎦⎥⎥⎤

*  Cofactors（余子式）

1.  余子式：设一个entry为  a i j aij aij，去掉其所在的行和列，剩下的SubMatrix 的行列式，记作： M i j Mij Mij
2.  一个方阵的行列式等于 任意一行的的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和。Mij 的系数是 ( − 1 ) i + j (-1)^\{i+j\} (−1)i\+j  
     ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ + ∣ a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + ∣ a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ = a 11 M 11 + ( − 1 ) a 12 M 12 + a 13 M 13 \\left|\\begin\{matrix\} a11 & a12 &a13 \\\\ a21 & a22 & a23 \\\\ a31 & a32 & a33 \\end\{matrix\} \\right|=\\left|\\begin\{matrix\} a11 & & \\\\ & a22 & a23 \\\\ & a32 & a33 \\end\{matrix\} \\right|+\\left|\\begin\{matrix\} & a12 & \\\\ a21 & & a23 \\\\ a31 & & a33 \\end\{matrix\} \\right|+\\left|\\begin\{matrix\} & &a13 \\\\ a21 & a22 & \\\\ a31 & a32 & \\end\{matrix\} \\right| = a11M11 +(-1)a12M12+a13M13 ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣a11a22a32a23a33∣∣∣∣∣∣\+∣∣∣∣∣∣a21a31a12a23a33∣∣∣∣∣∣\+∣∣∣∣∣∣a21a31a22a32a13∣∣∣∣∣∣=a11M11\+(−1)a12M12\+a13M13

如：  
 ∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ = 2 ∗ ∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ − ( − 1 ) ∗ ∣ − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ \\left|\\begin\{matrix\} 2& -1 & &&\\\\ -1 &2&-1& \\\\ & -1 & 2&-1\\\\ &&-1&2 \\end\{matrix\} \\right|=2\*\\left|\\begin\{matrix\} 2 & -1&\\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ & -1& 2 \\end\{matrix\} \\right|-(-1)\*\\left|\\begin\{matrix\} -1 & -1&\\\\ & 2 & -1 \\\\ & -1& 2 \\end\{matrix\} \\right| ∣∣∣∣∣∣∣∣2−1−12−1−12−1−12∣∣∣∣∣∣∣∣=2∗∣∣∣∣∣∣2−1−12−1−12∣∣∣∣∣∣−(−1)∗∣∣∣∣∣∣−1−12−1−12∣∣∣∣∣∣

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## Cramers’s Rule, Inverses and Volumes ##

*   Cramer’s Rule

1.  如果 A A A的行列式不是0， A x = b Ax=b Ax=b 可以用行列式来解

Key idea:  
 \[ a 1 a 2 a 3 \] \[ x 1 0 0 x 2 1 0 x 3 0 1 \] = \[ b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 \] = B 1 \\left\[\\begin\{matrix\} & &\\\\ a1& a2 & a3 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\]\\left\[\\begin\{matrix\} x1& 0&0\\\\ x2& 1 & 0 \\\\ x3& 0& 1 \\end\{matrix\} \\right\]=\\left\[\\begin\{matrix\} b1& a12&a13\\\\ b2& a22 & a23 \\\\ b3& a32& a33 \\end\{matrix\} \\right\]=B1 ⎣⎡a1a2a3⎦⎤⎣⎡x1x2x3010001⎦⎤=⎣⎡b1b2b3a12a22a32a13a23a33⎦⎤=B1

设中间矩阵为 X X X

d e t ( A ) d e t ( X ) = d e t ( B 1 ) det(A)det(X)=det(B1) det(A)det(X)=det(B1)  
 d e t ( A ) x 1 = d e t ( B 1 ) det(A)x1=det(B1) det(A)x1=det(B1)  
 x 1 = d e t ( B 1 ) / d e t ( A ) x1=det(B1)/det(A) x1=det(B1)/det(A)

同理：  
 \[ a 1 a 2 a 3 \] \[ 1 x 1 0 0 x 2 0 0 x 3 1 \] = \[ a 1 b a 3 \] = B 2 \\left\[\\begin\{matrix\} & &\\\\ a1& a2 & a3 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\]\\left\[\\begin\{matrix\} 1& x1&0\\\\ 0& x2 & 0 \\\\ 0& x3& 1 \\end\{matrix\} \\right\]=\\left\[\\begin\{matrix\} & &\\\\ a1&b & a3 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\]=B2 ⎣⎡a1a2a3⎦⎤⎣⎡100x1x2x3001⎦⎤=⎣⎡a1ba3⎦⎤=B2

x 2 = d e t ( B 2 ) / d e t ( A ) x2=det(B2)/det(A) x2=det(B2)/det(A)

同理：

x 3 = d e t ( B 3 ) / d e t ( A ) x3=det(B3)/det(A) x3=det(B3)/det(A)

例题

3 x 1 + 4 x 2 = 2 5 x 1 + 6 x 2 = 4 \\begin\{array\}\{l\} 3x1+4x2=2\\\\ 5x1+6x2=4 \\end\{array\} 3x1\+4x2=25x1\+6x2=4

d e t A = ∣ 3 4 5 6 ∣    d e t B 1 = ∣ 3 4 5 6 ∣    d e t B 2 = ∣ 3 4 5 6 ∣ det A=\\left|\\begin\{matrix\} 3& 4\\\\ 5& 6 \\end\{matrix\} \\right|\\space \\space det B1=\\left|\\begin\{matrix\} 3& 4\\\\ 5& 6 \\end\{matrix\} \\right|\\space \\space det B2=\\left|\\begin\{matrix\} 3& 4\\\\ 5& 6 \\end\{matrix\} \\right| detA=∣∣∣∣3546∣∣∣∣  detB1=∣∣∣∣3546∣∣∣∣  detB2=∣∣∣∣3546∣∣∣∣

C r a m e r ′ s R u l e :      x 1 = − 4 − 2 = 2      x 2 = 2 − 2 = − 1 Cramer&\#x27;s Rule :\\space\\space\\space\\space x1=\\frac\{-4\}\{-2\}=2\\space\\space\\space\\space x2=\\frac\{2\}\{-2\}=-1 Cramer′sRule:    x1=−2−4=2    x2=−22=−1

c h e c k \[ 3 4 5 6 \] \[ 2 − 1 \] = \[ 2 4 \] check \\left\[\\begin\{matrix\} 3& 4\\\\ 5& 6 \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[\\begin\{matrix\} 2\\\\ -1 \\end\{matrix\} \\right\] =\\left\[\\begin\{matrix\} 2\\\\ 4 \\end\{matrix\} \\right\] check\[3546\]\[2−1\]=\[24\]

2.  A − 1 A^\{-1\} A−1

C表示余子式，最后的每项 C j i C\_\{ji\} Cji的系数 是 （ − 1 ） i + j （-1）^\{i+j\} （−1）i\+j  
 ( A − 1 ) i j = C j i d e t   A (A^\{-1\})\_\{ij\}=\\frac\{C\_\{ji\}\}\{det\\space A\} (A−1)ij=det ACji  
 比 如 ： ( A − 1 ) 31 = C 13 d e t   A 比如：(A^\{-1\})\_\{31\}=\\frac\{C\_\{13\}\}\{det\\space A\} 比如：(A−1)31=det AC13

例题：  
 A = \[ a b c d \] A= \\left\[ \\begin\{matrix\} a &b \\\\ c & d \\end\{matrix\} \\right\] A=\[acbd\]  
 C 11 = d ∣ A ∣ ,    C 21 = − c ∣ A ∣ ,    C 12 = − b ∣ A ∣ ,    C 22 = a ∣ A ∣ C\_\{11\}=\\frac\{d\}\{|A|\} ,\\space\\space C\_\{21\}=\\frac\{-c\}\{|A|\},\\space\\space C\_\{12\}=\\frac\{-b\}\{|A|\},\\space\\space C\_\{22\}=\\frac\{a\}\{|A|\} C11=∣A∣d,  C21=∣A∣−c,  C12=∣A∣−b,  C22=∣A∣a  
 ∣ A ∣ = 1 a d − b c |A|=\\frac\{1\}\{ad-bc\} ∣A∣=ad−bc1  
 A − 1 = 1 a d − b c \[ d − b − c a \] A^\{-1\}= \\frac\{1\}\{ad-bc\}\\left\[ \\begin\{matrix\} d &-b \\\\ -c & a \\end\{matrix\} \\right\] A−1=ad−bc1\[d−c−ba\]

3. 行列式的几何意义

*  在 x   y x\\space y x y 坐标平面中，3个点的坐标分别是 ( x 1 , y 1 )   ( x 2 , y 2 )   ( x 3 , y 3 ) (x1,y1)\\space (x2,y2)\\space (x3,y3) (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) ,那么它**组成三角形的面积**是：  
     d e t e r m i n a n t 2 = 1 2 ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ \\frac\{determinant\}\{2\}=\\frac\{1\}\{2\} \\left| \\begin\{matrix\} x1 & y1 & 1\\\\ x2 & y2 & 1 \\\\ x3 & y3& 1 \\end\{matrix\} \\right| 2determinant=21∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣  
    如果 ( x 3 , y 3 ) (x3,y3) (x3,y3) 是（0,0）的话 面积等于：  
     1 2 ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ \\frac\{1\}\{2\} \\left| \\begin\{matrix\} x1 & y1 \\\\ x2 & y2 \\end\{matrix\} \\right| 21∣∣∣∣x1x2y1y2∣∣∣∣  
    平行四边形的面积=determinant,不需要除以2  
    **如果求出的值是负数，那么取它的绝对值。**

*  在 x   y   z x\\space y\\space z x y z 三维空间中，三个三维向量 ( a 11 a 12 a 13 ) ( a 21 a 22 a 23 ) ( a 31 a 32 a 33 ) (a\_\{11\}a\_\{12\}a\_\{13\}) (a\_\{21\}a\_\{22\}a\_\{23\})(a\_\{31\}a\_\{32\}a\_\{33\}) (a11a12a13)(a21a22a23)(a31a32a33)分别对应平行六面体的三条边，三个三维向量 不要求垂直，只需要能构成体积就行。那么它的体积等于：  
     ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ \\left| \\begin\{matrix\} a\_\{11\}& a\_\{21\}& a\_\{31\} \\\\ a\_\{12\} & a\_\{22\} & a\_\{32\} \\\\ a\_\{13\} &a\_\{23\}& a\_\{33\} \\end\{matrix\} \\right| ∣∣∣∣∣∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣∣∣∣∣∣  
    可以这样想：如果三个向量两两垂直，假设为 ( 2 , 0 , 0 ) ( 0 , 3 , 0 ) ( 0 , 0 , 4 ) (2,0,0) (0,3,0)(0,0,4) (2,0,0)(0,3,0)(0,0,4)，那么体积为**三个边长之积**：2\*3\*4=24，将边长放在矩阵中，**求行列式**也是2\*3\*4=24，如下：  
     ∣ 2 0 0 0 3 0 0 0 4 ∣ = 2 ∗ 3 ∗ 4 = 24 \\left| \\begin\{matrix\} 2& 0 & 0 \\\\ 0 & 3& 0 \\\\ 0 & 0 & 4 \\end\{matrix\} \\right|=2\*3\*4=24 ∣∣∣∣∣∣200030004∣∣∣∣∣∣=2∗3∗4=24

*  内积 、外积、三重积

(1) 内积（Dot Product）：两个向量的内积大小是一个长度，是一个数。  
  
  
两个向量 ( x 1 , x 2 , x 3 )   ( y 1 , y 2 , y 3 ) (x1,x2,x3)\\space (y1,y2,y3) (x1,x2,x3) (y1,y2,y3)的内积对应坐标乘积之和： x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x1y1+x2y2+x3y3 x1y1\+x2y2\+x3y3，通常写成 x T y x^Ty xTy

(2)外积（Cross Product）：两个向量的外积**大小**是面积,还是一个向量。  
 u × v = ∣ i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) i + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) j + ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) k u\\times v= \\left| \\begin\{matrix\} i & j & k \\\\ u\_\{1\} & u\_\{2\} & u\_\{3\} \\\\ v\_\{1\} & v\_\{2\} & v\_\{3\} \\end\{matrix\} \\right|=(u\_\{2\}v\_\{3\}- u\_\{3\}v\_\{2\} )i+(u\_\{3\} v\_\{1\}- u\_\{1\}v\_\{3\} )j+(u\_\{1\}v\_\{2\} -u\_\{2\} v\_\{1\} )k u×v=∣∣∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣∣∣=(u2v3−u3v2)i\+(u3v1−u1v3)j\+(u1v2−u2v1)k  
得到的这个向量大小等于 u u u  v v v 组成的四边形面积，方向垂直于这个平面，符合右手定则， x × y x\\times y x×y的方向如下图 。  
![在这里插入图片描述][20181123222426477.jpg]  
 x × y = − ( y × x ) x\\times y=-(y\\times x) x×y=−(y×x)

(3)三重积（Triple Product）三个向量的三重积大小是体积

u   v   w   u\\space v \\space w\\space u v w 的Triple Product定义为： ( u × v   ) ⋅ w (u\\times v \\space )\\cdot w (u×v )⋅w =  
 d e t e r m i n a t = ∣ w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ = ∣ u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ∣ determinat=\\left| \\begin\{matrix\} w\_\{1\} & w\_\{2\} & w\_\{3\} \\\\ u\_\{1\} & u\_\{2\} & u\_\{3\} \\\\ v\_\{1\} & v\_\{2\} & v\_\{3\} \\end\{matrix\} \\right|=\\left| \\begin\{matrix\} u\_\{1\} & u\_\{2\} & u\_\{3\} \\\\ v\_\{1\} & v\_\{2\} & v\_\{3\}\\\\ w\_\{1\} & w\_\{2\} & w\_\{3\} \\end\{matrix\} \\right| determinat=∣∣∣∣∣∣w1u1v1w2u2v2w3u3v3∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣∣

## 行列式的几何意义 ##

[矩阵和行列式的几何意义][Link 1]

[20181123222426477.jpg]: /images/20220414/99f5953983ac4796876274f1517a16c7.png
[Link 1]: https://www.cnblogs.com/sddai/p/5928101.html