线性回归详细推导（含归一化必要性讨论）

谁践踏了优雅 2022-05-03 05:58 128阅读 0赞

**（作者：陈玓玏）**

假设有一组数据 X X X，包含 m m m个样本，其中每一个样本有 n n n个特征值，每一个样本还对应其label  y i y\_i yi，也就是说这组数据是一个 m ∗ n m\*n m∗n的矩阵，那么我们可以通过一组参数 θ \\theta θ来实现对label的预测，这样当新来一个样本时，我们可以通过找到的这一组参数 θ \\theta θ和样本的运算（实际是一个函数）来预测其 y y y值。

## 1. 代价函数 ##

那怎么评估我们的预测是否准确呢？

先来科普一个三个概念：  
  损失函数（Loss Function）：是定义在单个样本上的，是指一个样本的误差。  
  代价函数（Cost Function）：是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是所有损失函数值的平均。  
  目标函数（Object Function）：是指最终需要优化的函数，一般来说是经验风险+结构风险，也就是（代价函数+正则化项）。

基于以上的概念，再加上线性回归的损失函数是平方损失函数，最终得到的代价函数公式为：  
 J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) 2 J(\\theta) = \\frac\{1\}\{2m\}\\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{(h\_\\theta(x^i)-y^i)\}^2 J(θ)=2m1i=1∑m(hθ(xi)−yi)2  
 h θ ( x i ) h\_\\theta(x^i) hθ(xi)表示第 i i i个样本的预测值，其公式为 h θ ( x i ) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + … + θ m x m h\_\\theta(x^\{i\})=\\theta\_0+\\theta\_1x\_1+\\theta\_2x\_2+…+\\theta\_mx\_m hθ(xi)=θ0\+θ1x1\+θ2x2\+…\+θmxm， y i y^i yi表示第 i i i个样本的真实值。 θ 0 \\theta\_0 θ0是截距项，可以理解为样本矩阵有一列全为1，这一列的系数是 θ 0 \\theta\_0 θ0。

我们拟合的目标是使得代价函数最小，表示每个样本预测值与真实值之间的差距平均值最小。既然样本值是确定的，那么我们要找的就是使得代价函数最小的一组 θ \\theta θ值，考虑一个足够简单的场景，即所有样本只有一个特征且 θ 0 \\theta\_0 θ0为0。此时我们可以知道，代价函数转换为以下形式：  
 J ( θ 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( θ 1 x i − y i ) 2 J(\\theta\_1) =\\frac\{1\}\{2m\}\\sum\_\{i=1\}^\{m\} (\\theta\_1x^i-y^i)^2 J(θ1)=2m1i=1∑m(θ1xi−yi)2  
这个函数只有一个参数 θ 1 \\theta\_1 θ1，且展开平方项的系数必然大于0，因此和项中的每一项都是一个自变量为 θ 1 \\theta\_1 θ1的开口向上的抛物线， m m m项的和仍然是一个开口向上的抛物线，因此我们总能找到一个使得 J ( θ 1 ) J(\\theta\_1) J(θ1)最小的 θ 1 \\theta\_1 θ1。扩展到多参数以后仍然成立。

# 2. 最小二乘法及梯度下降法 #

## 2.1 求解及更新参数 ##

那么如何求解 θ \\theta θ向量呢？  
有两种方法可以考虑，一种是最小二乘法，一种是梯度下降法。两者的原理其实是一样的，那就是当 J ( θ ) J(\\theta) J(θ)对 θ \\theta θ的偏导为0时，所得到的 θ \\theta θ值即为我们要求的结果。但最小二乘法是将整个代价函数转化为向量相乘的结果整体求解，  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zOTc1MDA4NA_size_27_color_FFFFFF_t_70]  
这里的 ω \\omega ω就是我们说的 θ \\theta θ，求解的结果为  
 θ = ( X T X ) − 1 X T Y \\theta = (X^TX)^\{-1\}X^TY θ=(XTX)−1XTY  
这个结果求解的困难之处在于求逆。矩阵无法求逆的原因在于存在多余的特征（因为共线性），会导致 X T X X^TX XTX的行列式为0，因而不能求导。此时应该去分析各特征之间的共线性情况，相关性极高的特征群中留一个就可以了。

因为最小二乘法在存在共线性特征时无法求解，且在特征多时求解很慢（毕竟需要求一个 ( n + 1 ) ∗ ( n + 1 ) (n+1)\*(n+1) (n\+1)∗(n\+1)矩阵的逆），所以我们通常喜欢用另一种方法来求解，即梯度下降法。  
梯度下降法的原理是沿着梯度下降的方向逐步逼近最低点。下面来看一张图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zOTc1MDA4NA_size_27_color_FFFFFF_t_70 1]

当前处于极值点左边时，梯度为负值，参数需要往增大的方向变化，因此我们更新参数时需要用当前参数值减去一个负数，而处于极值点右边时，梯度为正，参数需要往减小的方向变化，也是要减去一个正数，总之就是越来越接近极小值点。

也就是说，我们只需要按照梯度下降的方向（也就是 J ( θ ) J(\\theta) J(θ)在 θ i \\theta\_i θi上下降最快的方向）每次跨出一小步，经过多次前进之后我们总能到达一个最近的极小值。  
梯度可以由以下公式求得：  
 ∂ J ( θ ) ∂ θ 0 = 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) \\frac\{\\partial J(\\theta)\}\{\\partial \\theta\_0\} = \\frac\{1\}\{m\}\\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{(h\_\\theta(x^i)-y^i)\} ∂θ0∂J(θ)=m1i=1∑m(hθ(xi)−yi)  
 ∂ J ( θ ) ∂ θ i = 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) x i \\frac\{\\partial J(\\theta)\}\{\\partial \\theta\_i\} = \\frac\{1\}\{m\}\\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{(h\_\\theta(x^i)-y^i)\}x^i ∂θi∂J(θ)=m1i=1∑m(hθ(xi)−yi)xi

而梯度更新的方式为：  
 θ i = θ i − α ∂ J ( θ ) ∂ θ i \\theta\_i = \\theta\_i-\\alpha \\frac\{\\partial J(\\theta)\}\{\\partial \\theta\_i\} θi=θi−α∂θi∂J(θ)  
即：  
 θ 0 = α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) \\theta\_0 = \\alpha \\frac\{1\}\{m\}\\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{(h\_\\theta(x^i)-y^i)\} θ0=αm1i=1∑m(hθ(xi)−yi)  
 θ i = α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) x i \\theta\_i = \\alpha \\frac\{1\}\{m\}\\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{(h\_\\theta(x^i)-y^i)\}x^i θi=αm1i=1∑m(hθ(xi)−yi)xi

## 2.2 学习率的选择 ##

那么在以上公式中，还有一个疑惑就是， α \\alpha α参数是什么？这个参数就是步长，又称学习率，它能够控制我们学习的速度，具体看下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zOTc1MDA4NA_size_27_color_FFFFFF_t_70 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zOTc1MDA4NA_size_27_color_FFFFFF_t_70 3]

当学习率很小时，我们每次只会随着梯度的方向往前前进一点点，需要更多的迭代次数才能到达极小值点，找到合适的参数。当学习率很大时，每次更新的长度过大导致越过极值点，容易走成之字形，难以收敛，所以要将学习率控制在合理范围内，可以从一个较小的值开始尝试，逐步增大到合适的大小。

# 2.3 特征归一化 #

除了学习率，另外一个值得注意的问题就是特征归一化。看图说话：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zOTc1MDA4NA_size_27_color_FFFFFF_t_70 4]  
左图是未归一化的代价函数等高线图（也就是不同的 J ( θ ) J(\\theta) J(θ)值的横截面边缘，因为两个参数的 J ( θ ) J(\\theta) J(θ)是抛物面，因此是这个形状），右图是归一化之后的。归一化简单来说就是将各个特征缩放到同一个scale上，如果不进行这个操作，容易出现左图的情况，也就是说 J ( θ ) J(\\theta) J(θ)在scale较小的 x 2 x\_2 x2对应的参数 θ 2 \\theta\_2 θ2上的每一步都是在逐渐减小的，但scale较大的 x 1 x\_1 x1对应的参数 θ 1 \\theta\_1 θ1每次下降时，梯度公式中是包含数值较大的 x 1 i x\_1^i x1i的（可以自己推导一下），这样即使步长小， θ 1 \\theta\_1 θ1也容易因为过度更新而产生过学习。

不进行归一化产生z字形的另一个原因是，我们对所有特征使用的都是同等学习率，如果学习率对于取值范围比较大的 θ 2 \\theta2 θ2来说能够很好地逼近损失函数的极小值的话，对于本身取值范围较小的 θ 1 \\theta1 θ1来说，学习率就可能偏大，因为很容易取到离极小值点的 θ 1 \\theta1 θ1作为初始化的 θ 1 \\theta1 θ1参数，从而导致之字形。

所以我们需要进行归一化，以期学习过程能够像右图那样进行。

参考文献：

1.  [https://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7691571][https_blog.csdn.net_abcjennifer_article_details_7691571]
2.  [https://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7700772][https_blog.csdn.net_abcjennifer_article_details_7700772]
3.  [https://blog.csdn.net/luanpeng825485697/article/details/78933084][https_blog.csdn.net_luanpeng825485697_article_details_78933084]

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[https_blog.csdn.net_abcjennifer_article_details_7691571]: https://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7691571
[https_blog.csdn.net_abcjennifer_article_details_7700772]: https://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7700772
[https_blog.csdn.net_luanpeng825485697_article_details_78933084]: https://blog.csdn.net/luanpeng825485697/article/details/78933084