MIT 线性代数导论第十一讲：矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

小灰灰 2022-05-08 08:06 414阅读 0赞

本讲的主要内容有：

*  矩阵空间的具体概念
 *  秩1矩阵的概念以及性质
 *  小世界图

### 矩阵空间 ###

在之前的一讲中提到了矩阵空间的概念，其实本质上与之前的向量空间是一致的，只是概念的拓展。例如：矩阵空间  M M M 是所有  3 × 3 3\\times3 3×3 的矩阵构成的空间，它的子空间有所有的对称矩阵（ 3 × 3 3 \\times 3 3×3）构成的空间以及所有的上三角矩阵（ 3 × 3 3 \\times 3 3×3）构成的空间等等。  
讨论矩阵空间  M M M 的基，这个问题很直观，我们要找到一组  3 × 3 3 \\times 3 3×3 的矩阵，通过组合可以生成所有的  3 × 3 3 \\times 3 3×3 的矩阵，所以矩阵的每个位置都会有一个数字，最基础的一组基：  
 ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) . . . ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} ... \\begin\{pmatrix\} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛100000000⎠⎞⎝⎛000100000⎠⎞...⎝⎛000000001⎠⎞  
所以： M M M 的维数是9，即： d i m M = 9 dim \\enspace M=9 dimM=9

接下来讨论  M M M 的两个子空间：

*  所有的对称矩阵（ 3 × 3 3 \\times 3 3×3）构成的空间，简记为  S S S（symmetric matrices）
 *  所有的上三角矩阵（ 3 × 3 3 \\times 3 3×3）构成的空间，简记为  U U U （upper triangular matrics）

考虑它们的维数：

*   d i m S = 6 dim \\enspace S=6 dimS=6 ，一组基为：  
     ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) ( 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛100000000⎠⎞⎝⎛000010000⎠⎞⎝⎛000000001⎠⎞⎝⎛010100000⎠⎞⎝⎛001000100⎠⎞⎝⎛000001010⎠⎞
 *   d i m   U = 6 dim \\space U=6 dim U=6这个比较好理解，就是对角线以及上三角部分的所有位置都分别有一个数字即可表示所有的矩阵。
 *   d i m S ∩ U = 3 dim \\enspace S\\cap U = 3 dimS∩U=3，这里类比之前在向量空间中的子空间的交即可。
 *  对于  S ∪ U S\\cup U S∪U因为不是子空间，所以不做考虑（这里也是类比之前的思路），换一种方式：取  S + U S+U S\+U表示任意一个  S S S 的矩阵与任意一个  U U U 的矩阵相加，这样就构成了一个子空间，并且  d i m ( S + U ) = 9 dim \\enspace (S+U)=9 dim(S\+U)=9

**Addition：**  
在这里还有一个补充，考虑微分方程：  
 d 2 y d x 2 + y = 0 \\frac\{d^\{2\}y\}\{dx^\{2\}\} + y =0 dx2d2y\+y=0  
这个微分方程有很多组解，例如： c o s ( x ) cos(x) cos(x) 和 $sin(x) $ 均满足，我们可以得到一个complete solution:  x = c 1 c o x ( x ) + c 2 s i n ( x ) x = c\_\{1\}cox(x) + c\_\{2\}sin(x) x=c1cox(x)\+c2sin(x)，这种形式与我们研究线性方程组的形式很一致，所以也就说通过 s i n ( x ) sin(x) sin(x) 与  c o s ( x ) cos(x) cos(x) 的组合，我们可以得到解空间，所以这两个函数可以看作是解空间的 基，虽然这里不是向量，但是很多时候，我们可以将他们看作是 向量，并且运算与符合向量的性质。

### 秩1矩阵 ###

秩为1的矩阵，举个例子：  
 A = ( 1 4 5 2 8 10 ) A = \\begin\{pmatrix\} 1 & 4 & 5\\\\ 2 & 8 & 10 \\end\{pmatrix\} A=(1248510)  
我们可以看出这个矩阵的秩是1，有：  
 d i m C ( A ) = r = d i m C ( A T ) dim\\enspace C(A) = r = dim\\enspace C(A^\{T\}) dimC(A)=r=dimC(AT)  
上述矩阵可以写成一种更简单的形式：  
 ( 1 2 ) ( 1 4 5 ) \\begin\{pmatrix\} 1 \\\\ 2 \\end\{pmatrix\}\\begin\{pmatrix\} 1 & 4 & 5 \\end\{pmatrix\} (12)(145)  
所有的秩1矩阵都可写成这种列向量×行向量的形式  A = U V T A = UV^\{T\} A=UVT 。注意两个秩1矩阵相加不一定是秩1矩阵。

另一个关于子空间的例子：在  R 4 \\mathbb\{R\}^\{4\} R4中，向量表示如:  v = ( v 1 v 2 v 3 v 4 ) v = \\begin\{pmatrix\} v\_\{1\}\\\\ v\_\{2\}\\\\ v\_\{3\}\\\\ v\_\{4\} \\end\{pmatrix\} v=⎝⎜⎜⎛v1v2v3v4⎠⎟⎟⎞ ，将所有 满足  v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0 v\_\{1\} + v\_\{2\} +v\_\{3\} +v\_\{4\} = 0 v1\+v2\+v3\+v4=0的向量构成一个子空间，那么这个子空间的维数是3。我们可以将这个空间理解为方程  A v = 0 , A = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) Av=0,A=(1,1,1,1) Av=0,A=(1,1,1,1) 的解空间，因为  A A A 的秩是1，所以根据基与秩的关系，这个解空间的基的个数就是自由变量的个数，也就是3，所以维数就是3，并且可以得到一组基：  
 ( − 1 1 0 0 ) ( − 1 0 1 0 ) ( − 1 0 0 1 ) \\begin\{pmatrix\} -1\\\\ 1\\\\ 0\\\\ 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} -1\\\\ 0\\\\ 1\\\\ 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} -1\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 1 \\end\{pmatrix\} ⎝⎜⎜⎛−1100⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛−1010⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛−1001⎠⎟⎟⎞

### 小世界图（small world graph） ###

这是之后额一个概念， 接下来的内容就是将图论与线性代数联系起来。  
图（Graph）是结点与边的集合：  
 G r a p h = \{ n o d e s , e d g e s \} Graph = \\begin\{Bmatrix\} nodes, edges \\end\{Bmatrix\} Graph=\{ nodes,edges\}  
图论的内容在生活中很常见，例如我们的互联网等，都可以将其中的一个事物看作是一个结点，将问题归为结点间路径的问题。

以上~